Câu 3.4 trang 86 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng

Cho n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng

a) (nleft( {2{n^2} - 3n + 1} ight)) chia hết cho 6

b) ({11^{n + 1}} + {12^{2n - 1}}) chia hết cho 133

Giải

a) Bằng phương pháp quy nạp, ta sẽ chứng minh

                                (nleft( {2{n^2} - 3n + 1} ight) vdots ,6)                     (1)

Với mọi (n in N^*)

Với (n = 1,) ta có (nleft( {2{n^2} - 3n + 1} ight) = 0.) Hiển nhiên (0; vdots; 6,) và vì thế (1) đúng khi (n = 1)

Giả sử đã có (1) đúng khi (n = k,k in {N^ * }), tức là (kleft( {2{k^2} - 3k + 1} ight) ;vdots ;6,) ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi (n = k + 1)

Thật vậy, do (left( {k + 1} ight)left[ {2{{left( {k + 1} ight)}^2} - 3left( {k + 1} ight) + 1} ight] )

(= kleft( {2{k^2} - 3k + 1} ight) + 6{k^2}) nên từ gải thiết quy nạp suy ra (left( {k + 1} ight)left[ {2{{left( {k + 1} ight)}^2} - 3left( {k + 1} ight) + 1} ight] ;vdots; 6,) nghĩa là (1) đúng khi (n = k + 1)

Từ các chứng minh trên suy ra (1)  đúng với mọi (n in N^*.)

b) Ta sẽ chứng minh

             ({11^{n + 1}} + {12^{2n - 1}}; vdots ;133)                           (2)

Với mọi (n in N^*,) bằng phương pháp quy nạp.

Với (n = 1,) ta có ({11^{n + 1}} + {12^{2n - 1}} = {11^2} + 12 = 133.) Vì thế (2) đúng khi (n = 1.)

Giả sử đã có (2) đúng khi (n = k,k in N^*,) ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi (n = k + 1)

Thật vậy ta có

(eqalign{
& {11^{(k + 1) + 1}} + {12^{2(k + 1) - 1}}cr& = 11.left( {{{11}^{k + 1}} + {{12}^{2k - 1}}} ight) + {12^{2k - 1}}.({12^2} - 11) cr
& = 11.left( {{{11}^{k + 1}} + {{12}^{2k - 1}}} ight) + {133.12^{2k - 1}},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(3) cr} )

Mà ({11^{k + 1}} + {12^{2k - 1}}; vdots ;133) (theo giả thiết quy nạp) nên từ (3) suy ra

                                ({11^{(k + 1) + 1}} + {12^{2(k + 1) - 1}} ;vdots ;133)

Nghĩa là (2) đúng khi (n = k + 1)

Từ các chứng minh trên suy ra (2) đúng với mọi (n in N^*)

zaidap.com