Câu 4.34 trang 182 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Biểu diễn hình học các số

Biểu diễn hình học các số (5 + i)  và (239 + i) rồi chứng minh rằng nếu các số thực a, b thỏa mãn các điều kiện (0 < a < {pi  over 2},0 < b < {pi  over 2}) và ({mathop{ m tana} olimits}  = {1 over 5},{mathop{ m tanb} olimits}  = {1 over {239}}) thì (4a - b = {pi  over 4})

Giải

Điểm M để biểu diễn số (5 + i), điểm N biểu diễn số (239 + i) thì ( an left( {Ox,OM} ight) = {1 over 5} = an a), tan(({ m{O}}x,ON) ) ( = {1 over {239}} = an b).

Do M, N nằm trong góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ (Oxy), còn (0 < a < {pi  over 2}), (0 < b < {pi  over 2}) nên một acgumen của (5 + i) là (a), một acgumen của (239 + i) là (b) . Từ đó một acgumen của ({{{{left( {5 + i} ight)}^4}} over {239 + i}}) là (4a - b). 

Ta có    ({{{{left( {5 + i} ight)}^4}} over {239 + i}} = {{476 + 480i} over {239 + i}}), mà (left( {239 + i} ight)left( {1 + i} ight) = 238 + 240i)

Nên   ({{{{left( {5 + i} ight)}^4}} over {239 + i}} = 2(1 + i))

Số    (2(1 + i)) có một acgumen bằng ({pi  over 4})

Vậy (4a - b = {pi  over 4} + k2pi ) ((k in Z)).

Dễ thấy (0 < b < a < {pi  over 4}), suy ra (4a - b = {pi  over 4}).

Sachbaitap.com