Câu 4.11 trang 178 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Cho số phức

a) Cho số phức (alpha ). Chứng minh rằng với mọi số phức z, ta có

(zar z + ar alpha z + alpha ar z = {left| {z + alpha } ight|^2} - alpha ar alpha )

b) Từ câu a) hãy xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn:

                               (zar z + ar alpha z + alpha ar z + k = 0)

Trong đó  (alpha ) là số phức cho trước, k là số thực cho trước.

Giải

a) ({left| {z + alpha } ight|^2} - alpha overline alpha   = (z + a)left( {overline z  + overline alpha  } ight) - alpha overline alpha  )

(= zoverline z  + overline alpha  z + alpha overline z )

b) (zoverline z  + overline {alpha }z  - alpha overline z  + k = 0 Leftrightarrow {left| {z +alpha} ight|^2} = alpha overline alpha   - k).

Vậy khi (alpha overline alpha   - k = {R^2} > 0), tập hợp cần tìm đường tròn có tâm là điểm biểu diễn số ( - alpha ), có bán kính bằng R > 0 ; khi (k = alpha overline alpha  ), tập hợp cần tìm chỉ là một điểm ( biểu diễn số ( - alpha )) ; khi (k > alpha overline alpha  ), tập hợp cần tìm là tập rỗng .

Sachbaitap.com