Câu 4.23 trang 180 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

a) Chứng minh rằng nếu ba số phức

a) Chứng minh rằng nếu ba số phức  ({z_1},{z_2},{z_3}) thỏa mãn

                    (left{ matrix{left| {{z_1}} ight| = left| {{z_2}} ight| = left| {{z_3}} ight| = 1 hfill cr{z_1} + {z_2} + {z_3} = 1 hfill cr}  ight.)

Thì một trong ba số đó phải bằng 1.

b) Giải hệ phương trình ba ẩn phức ({z_1},{z_2},{z_3}) sau:

                    (left{ matrix{ left| {{z_1}} ight| = left| {{z_2}} ight| = left| {{z_3}} ight| = 1 hfill cr{z_1}{z_2} + {z_3} = 1 hfill cr{z_1}{z_2}{z_3} = 1 hfill cr}  ight.)                                                                  

Giải

a) Viết (1 - {z_1} = {z_2} + {z_3})

Nếu ({z_1} = 1) thì ({z_2} + {z_3} = 0)

Nếu ({z_1} e 1) thì (1 - {z_1} e 0), điểm P biểu diễn số (1 + left( { - {z_1}} ight) = {z_2} + {z_3}) không trùng với O nên do (1 = left| { - {z_1}} ight| = left| {{z_2}} ight| = left| {{z_3}} ight|), đường trung trực OP cắt đường tròn đơn vị tại hai điểm biểu diễn (1, - {z_1}) và cũng là hai điểm biểu diễn ({z_2},{z_3}) (h.4.7). Vậy ({z_2} = 1,{z_3} =  - {z_1}) hoặc ({z_2} =  - {z_1},{z_3} = 1). Tóm lại hoặc ({z_1} = 1) hoặc ({z_2} = 1) hoặc ({z_3} = 1) và tổng hai số z còn lại bằng 0

b) Từ hai phương trình đầu của hệ, theo câu a) có thể coi ({z_1} = 1,{z_2} + {z_3} = 0). Khi đó điều kiện (z_1z_2z_3=1) kéo theo hoặc ({z_2} = i,{z_3} =  - i) hoặc ({z_2} =  - i,{z_3} = i.). Suy ra hệ có 6 nghiệm do đổi chỗ các phần tử của bộ ba (left( {1,i, - i} ight))

             

Sachbaitap.com