Câu 4.29 trang 181 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Tìm số phức z sao cho

Tìm số phức z sao cho (left| z ight| = left| {z - 2} ight|) và một acgumen của (z - 2) bằng một acgumen của (z + 2) cộng với ({pi  over 2})

Giải

Cần tìm z sao cho (left| z ight| = left| {z - 2} ight|) chứng tỏ M biểu diễn z cách đều O và điểm A biểu diễn 2, tức là phần thực của z bằng 1.

({{z - 2} over {z + 2}} = {{left( {z - 2} ight)left( {overline z + 2} ight)} over {{{left| {z + 2} ight|}^2}}} = {{zoverline  z - 4 + 2left( {z - overline  z} ight)} over {{{left| {z + 2} ight|}^2}}} = lileft( {l > 0} ight)) khi và chỉ khi (zoverline  z - 4 = 0) (tức là (left| z ight| = 2)) và phần ảo của z phải dương.

Vậy điểm M biểu diễn z phải thuộc nửa đường tròn nằm phía trên trục thực, có tâm O, có bán kính bằng 2. Giao của nửa đường tròn đó với đường thẳng (x = 1) là điểm M biểu diễn điểm z cần tìm. Vậy số số đó là (z = 1 + sqrt 3 i) (Về hình học: điều kiện một acgumen của (z - 2) bằng một acgumen (z + 2) cộng với ({pi  over 2}) có nghĩa là góc lượng giác tia đầu MA’, tia cuối MA (A’, A theo thứ tự biểu diễn -2 và 2) bằng ({pi  over 2})) (h.4.10

                                                            

Cách 2: Nếu viết (z = x + yileft( {x,y in R} ight)) thì (left| z ight| = left| {z - 2} ight| Leftrightarrow x = 1)

Khi đó ({{z - 2} over {z + 2}} = {{1 + iy - 2} over {1 + iy + 2}} = {{ - 1 + iy} over {3 + iy}} = {{ - 3 + {y^2} + 4iy} over {9 + {y^2}}} = li) (l thực dương)

( Leftrightarrow left{ matrix{{y^2} = 3 hfill cr y > 0 hfill cr}  ight. Leftrightarrow y = sqrt 3 )

Vậy (z = 1 + sqrt 3 i)

Sachbaitap.com