Câu 4.55 trang 184 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Trong mặt phằng phức xét ngũ giác đều ABCDE nội tiếp đường tròn đơn vị. A là điểm biểu diễn số 1

Trong mặt phẳng phức xét ngũ giác đều ABCDE nội tiếp đường tròn đơn vị. A là điểm biểu diễn số 1 (giả sử đi dọc chu vi đa giác theo ngược chiều kim đồng hồ gặp các đỉnh kế tiếp B, C, D, E). Kí hiệu ({z_1},{z_2},{z_3},{z_4}) là các số phức theo thứ tự biểu diễn bởi các điểm B, C, D, E.

a) Chứng minh rằng (1,{z_1},{z_2},{z_3},{z_4}) là các nghiệm của phương trình ({z^5} - 1 = 0) và ({z_1} + {1 over {{z_1}}} = 2cos {{2pi } over 5})

b) Viết ({z^5} - 1 = left( {z - 1} ight)left( {{z^4} + {z^3} + {z^2} + z + 1} ight)) rồi đưa phương trình ({z^4} + {z^3} + {z^2} + z + 1 = 0) về phương trình bậc hai đối với ẩn phụ ({ m{w}} = z + {1 over z}). Từ đó suy ra (cos {{2pi } over 5} = {{ - 1 + sqrt 5 } over 4})

Giải

a) ({z_1} = cos {{2pi } over 5} + isin {{2pi } over 5},{z_2} = cos {{4pi } over 5} + isin {{4pi } over 5})

   ({z_3} = cos {{6pi } over 5} + isin {{6pi } over 5},{z_4} = cos {{8pi } over 5} + isin {{8pi } over 5})

Từ đó theo công thức Moa-vrơ, (1,{z_1},{z_2},{z_3},{z_4}) là nghiệm các phương trình ({z^5} - 1 = 0) (đó là tất cả các nghiệm vì phương trình có bậc 5).

({z_1} + {1 over {{z_1}}} = {z_1} + {ar z_1} = 2cos {{2pi } over 5})

b) Với (z e 0,)

({z^4} + {z^3} + {z^2} + z + 1 = {z^2}left( {{z^2} + {1 over {{z^2}}} + z + {1 over z} + 1} ight))

( = {z^2}left( {{{left( {z + {1 over z}} ight)}^2} + left( {z + {1 over z}} ight) - 1} ight) )

(= {z^2}left( {{{ m{w}}^2} + { m{w}} - 1} ight)), trong đó ({ m{w}} = z + {1 over z})

Phương trình ({{ m{w}}^2} + { m{w}} - 1 = 0) có hai nghiệm là ({{ - 1 pm sqrt 5 } over 2})

Vì ({z_1},{z_2},{z_3},{z_4}) là bốn nghiệm của phương trình ({z^4} + {z^3} + {z^2} + z + 1 = 0) tức là nghiệm của phương trình:

({left( {z + {1 over z}} ight)^2} + left( {z + {1 over z}} ight) - 1 = 0) và ({z_4} = {ar z_1} = {1 over {{z_1}}},{z_3} = {ar z_2} = {1 over {{z_2}}})  nên ({z_1} + {1 over {{z_1}}},{z_2} + {1 over {{z_2}}}) là hai nghiệm phân biệt của phương trình ({{ m{w}}^2} + { m{w}} - 1 = 0)

Từ đó suy ra (2cos {{2pi } over 5} = {{ - 1 + sqrt 5 } over 2}) (còn (2cos {{4pi } over 5} = {{ - 1 - sqrt 5 } over 2})) để ý rằng (cos {{2pi } over 5} > 0,cos {{4pi } over 5} < 0) (h.4.14)

             

                               

Sachbaitap.com