Câu 3.16 trang 87 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Hãy xét tính tăng - giảm của các dãy số sau:

Hãy xét tính tăng - giảm của các dãy số sau:

a) Dãy số (left( {{u_n}} ight)) với ({u_n} = {{{3^n}} over {{2^{n + 1}}}})

b) Dãy số (left( {{v_n}} ight)) với ({v_n} = {{sqrt n } over {{2^n}}})

c) Dãy số (left( {{a_n}} ight)) với ({u_n} = {{{3^n}} over {{n^2}}})

Giải

a) Dễ thấy ({u_n} > 0) với mọi (n in N^*.) Hơn nữa ta có

({{{u_n}} over {{u_{n + 1}}}} = {{{3^n}} over {{2^{n + 1}}}} imes {{{2^{n + 2}}} over {{3^{n + 1}}}} = {2 over 3} < 1)

Vì thế (left( {{u_n}} ight)) là một dãy số tăng.

b) Dễ thấy ({v_n} > 0) với mọi (n in N^*.) Hơn nữa, xét tỉ số ({{{v_n}} over {{v_{n + 1}}}}) ta có

            ({{{v_n}} over {{v_{n + 1}}}} = {{sqrt n } over {{2^n}}} imes {{{2^{n + 1}}} over {sqrt {n + 1} }}={{2sqrt n } over {sqrt {n + 1} }} > 1,,,left( {forall n ge 1} ight))

Vì thế, (left( {{v_n}} ight)) là một dãy số giảm.

c) Dễ thấy ({a_n} > 0) với mọi (n in N^*.) Xét tỉ số ({{{a_n}} over {{a_{n + 1}}}}) ta có

            ({{{a_n}} over {{a_{n + 1}}}} = {{{3^n}} over {{n^2}}} imes {{{{left( {n + 1} ight)}^2}} over {{3^{n + 1}}}} = {1 over 3}{left( {1 + {1 over n}} ight)^2},,,)

Từ đó suy ra

({{{a_n}} over {{a_{n + 1}}}} < 1 Leftrightarrow 1 + {1 over n} < sqrt 3  Leftrightarrow n > {1 over {sqrt 3  - 1}} Leftrightarrow n ge 2)

((do,,n in N^*))

({{{a_n}} over {{a_{n + 1}}}} > 1 Leftrightarrow 1 + {1 over n} > sqrt 3  Leftrightarrow n < {1 over {sqrt 3  - 1}} Leftrightarrow n = 1)

((do,,n in N^*))

Như vậy, ta có ({a_1} > {a_2}) và ({a_2} < {a_3} < ... < {a_n} < {a_{n + 1}} < ...)

Vì thế, (left( {{a_n}} ight)) không là dãy số tăng, cũng không là dãy số giảm.

zaidap.com