Câu 4.39 trang 140 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng các giới hạn sau không tồn tại

Chứng minh rằng các giới hạn sau không tồn tại

a) (mathop {lim }limits_{x o  + infty } sin 2x)                          b) (mathop {lim }limits_{x o  + infty } cos 3x)

c) (mathop {lim }limits_{x o 0} cos {1 over {2x}})                            d) (mathop {lim }limits_{x o 0} sin {2 over x}.)

Hướng dẫn. a) Lấy hai dãy số (({x_n})) và ((x{'_n})) với ({x_n} = npi ,x{'_n} = npi  + {pi  over 4}.)

Tìm (lim {x_n},lim x{'_n},lim f({x_n}),lim f(x{'_n}).)

c) Chọn dãy số (({x_n})) sao cho ({1 over {2{x_n}}} = npi ,hay,{x_n} = {1 over {2npi }}) Tìm (lim {x_n}) và (lim f({x_n}).)

Giải

a) Lấy hai dãy số (({x_n})) và ((x{'_n}))

   ({x_n} = npi ,x{'_n} = npi  + {pi  over 4}) (như trong hướng dẫn).

Khi đó (lim {x_n} =  + infty )  và (lim x{'_n} =  + infty );

            (lim f({x_n}) = limsin2{x_n} = lim sin 2npi  = 0)  và

            (lim f(x{'_n}) = limsin2x{'_n} = lim sin left( {2npi  + {pi  over 2}} ight) = 1.)

Vì (lim fleft( {{x_n}} ight) e lim fleft( {x{'_n}} ight))  nên không tồn tại (mathop {lim }limits_{x o  + infty } sin 2x.)

Cách giải khác. Lấy dãy số (({x_n})) với

                                    ({x_n} = {{npi } over 2} + {pi  over 4},)

Ta có (lim {x_n} =  + infty ) và

(fleft( {{x_n}} ight) = sin 2{x_n} = sin left( {npi + {pi over 2}} ight) = left{ matrix{
1 ext{ với n chẵn} hfill cr
- 1 ext{ với n lẻ} hfill cr} ight.)

Dãy số (left( {fleft( {{x_n}} ight)} ight) = left( {sin 2{x_n}} ight)) không có giới hạn. Do đó không tồn tại (mathop {lim }limits_{x o  + infty } sin 2x.)

b) Làm tương tự như câu a) không tồn tại (mathop {lim }limits_{x o  + infty } cos 3x)

c) Chọn dãy (({x_n})) sao cho
                        ({1 over {2{x_n}}} = npi  Leftrightarrow {x_n} = {1 over {2npi }}.)     

Khi đó (lim {x_n} = 0)  và

(fleft( {{x_n}} ight) = cos {1 over {2{x_n}}} = cos npi = left{ matrix{
1 ext{ với n chẵn}hfill cr
- 1 ext{ với n lẻ}  hfill cr} ight.)

Dãy số (left( {fleft( {{x_n}} ight)} ight) = left( {cos {1 over {2{x_n}}}} ight))  không có giới hạn. Do đó không tồn tại

(mathop {lim }limits_{x o 0} cos {1 over {2x}});

d) Tương tự câu c, không tồn tại (mathop {lim }limits_{x o 0} sin {2 over x}.)

Sachbaitap.com