Câu 4.35 trang 182 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Cho tam giác đều OAB trong mặt phằng phức (O là gốc tọa độ). Chứng minh rằng nếu A, B theo thứ tự biểu diễn các số

Cho tam giác đều OAB trong mặt phằng phức (O là gốc tọa độ). Chứng minh rằng nếu A, B theo thứ tự biểu diễn các số ({z_1},{z_0})  thì ({z_0}^2 + {z_1}^2 = {z_0}{z_1})

Giải

Tam giác OAB là tam giác đều khi và chỉ khi OA = OB và góc ( OA, OB ) bằng ({pi  over 3}) hoặc ( - {pi  over 3}) tức là khi và chỉ khi ({z_0} e 0) và nếu đặt ({{{z_1}} over {{z_0}}} = alpha ) thì (left| alpha  ight| = 1) và một acgumen của (alpha ) là ({pi  over 3}) hoặc ( - {pi  over 3}).

Mặt khác, khi ({{{z_1}} over {{z_0}}} = alpha ) thì (z_0^2 + z_1^2 = {z_0}{z_1} Leftrightarrow z_0^2 + {alpha ^2}z_0^2 = alpha z_0^2 Leftrightarrow 1 + {alpha ^2} = alpha )

( Leftrightarrow {alpha ^2} - alpha  + 1 = 0 Leftrightarrow alpha  = {{1 pm sqrt 3 i} over 2} Leftrightarrow leftlfloor alpha  ight floor  = 1) và một acgumen của (alpha ) là ({pi  over 3}) hoặc ( - {pi  over 3}).

Vậy ta đã chứng minh : OAB là tam giác đều khi và chỉ khi (z_0^2 + z_1^2 = {z_0}{z_1}) ( (z e 0)).

Sachbaitap.com