Câu 4.32 trang 182 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Hỏi với số nguyên dương n nào, số phức

a) Hỏi với số nguyên dương n nào, số phức ({left( {{{3 - sqrt 3 i} over {sqrt 3  - 3i}}} ight)^n}) là số thực, là số ảo ?

b) Cũng câu hỏi tương tự cho số phức ({left( {{{7 + i} over {4 - 3i}}} ight)^n})

Giải      

a) ({{3 - sqrt 3 i} over {sqrt 3  - 3i}} = {{sqrt 3  + i} over 2} = c{ m{os}}{pi  over 6} + isin{pi  over 6}) nên với số n nguyên dương, ta có:

                                ({left( {{{3 - sqrt 3 i} over {sqrt 3  - 3i}}} ight)^n} = c{ m{os}}{{npi } over 6} + isin{{npi } over 6})

Số đó là số thực ( Leftrightarrow sin {{npi } over 6} = 0 Leftrightarrow n = 6k) (k là số nguyên dương)

Số đó là số ảo ( Leftrightarrow c{ m{os}}{{npi } over 6} = 0 Leftrightarrow {{npi } over 6} = {pi  over 2} + kpi  Leftrightarrow n = 6k + 3) (k là số nguyên không âm).

b) ({{7 + i} over {4 - 3i}} = 1 + i = sqrt 2 left( {{ m{cos}}{pi  over 4} + isin{pi  over 4}} ight)) nên với số n nguyên dương, ta có:

({left( {{{7 + i} over {4 - 3i}}} ight)^n} = {left( {sqrt 2 } ight)^n}left( {{ m{cos}}{npi  over 4} + isin{npi  over 4}} ight))

Số đó là số thực ( Leftrightarrow sin {{npi } over 4} = 0 Leftrightarrow n = 4k) (k nguyên dương)

Số đó là số ảo ( Leftrightarrow cos {{npi } over 4} = 0 Leftrightarrow n = 4k+2) (k là số nguyên không âm)

Sachbaitap.com