Câu 4.30 trang 182 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Ác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho

Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho ({{z - 2} over {z + 2}}) có một acgumen bằng ({pi  over 3})

Giải               

({{z - 2} over {z + 2}} = {{zoverline z - 4 + 2left( {z - overline z} ight)} over {{{left| {z + 2} ight|}^2}}}) có một acgumen bằng ({pi  over 3}) khi và chỉ khi (zar z - 4 + 2left( {z - ar z} ight) = lleft( {1 + isqrt 3 } ight)), l là số thực dương.

Nếu viết (z = x + yileft( {x,y in R} ight)) thì

 (eqalign{& zar z - 4 + 2left( {z - ar z} ight) = {x^2} + {y^2} - 4 + 4yi cr&;;;;;; ;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;; = l + lsqrt 3 ileft( { > 0} ight)  cr&  Leftrightarrow 4y = left( {{x^2} + {y^2} - 4} ight)sqrt 3  cr&Leftrightarrow {x^2} + {left( {y - {2 over {sqrt 3 }}} ight)^2} - {{16} over 3} = 0 cr} )

Vậy M chạy trên cung tròn có tâm biểu diễn ({2 over {sqrt 3 }}i) và có bán kính bằng ({4 over {sqrt 3 }}) nằm ở phía trên trục thực.

Chú ý: A’, A là các điểm theo thứ tự biểu diễn -2. 2 thì điều kiện ({{z - 2} over {z + 2}}) có một acgumen bằng ({pi  over 3}) có nghĩa là góc lượng giác tia đầu MA’, tia cuối MA’ (M là điểm biểu diễn z) bằng ({pi  over 3}). Suy ra quỹ tích của M là cung tròn chứa góc ({pi  over 3}) căng trên đoạn A’A (không kể A, A’) (h.4.11)

                                                   

Sachbaitap.com