Câu 3.15 trang 87 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Hãy xét tính tăng - giảm của các dãy số sau:

Hãy xét tính tăng - giảm của các dãy số sau:

a) Dãy số (left( {{a_n}} ight)) với ({a_n} = 2{n^3} - 5n + 1)

b) Dãy số (left( {{b_n}} ight)) với ({b_n} = {3^n} - n)

c) Dãy số (left( {{c_n}} ight)) với ({c_n} = {n over {{n^2} + 1}})

Giải

a) Với mỗi (n in N^*,) ta có

(eqalign{
 {a_{n + 1}} - {a_n} &= left[ {2{{left( {n + 1} ight)}^3} - 5left( {n + 1} ight) + 1} ight] cr&- left( {2{n^3} - 5n + 1} ight) cr
& = 2left[ {{{left( {n + 1} ight)}^3} - {n^3}} ight] - 5left( {n + 1 - n} ight) cr
&  = 2left[ {{{left( {n + 1} ight)}^2} + left( {n + 1} ight).n + {n^2}} ight] - 5 cr
& = 6{n^2} + 6n - 3cr& = 3.left( {{n^2} - 1} ight) + 3{n^2} + 6n > 0,left( {do,,n ge 1} ight) cr} )

Vì thế, dãy số (left( {{a_n}} ight)) là một dãy số tăng.

b) Dãy số (left( {{b_n}} ight)) là một dãy số tăng.

Xét hiệu ({b_{n + 1}} - {b_{n.}})

(eqalign{
& left[ {{3^{n + 1}} - left( {n + 1} ight)} ight] - left[ {{3^n} - n} ight] cr
& = {3^{n + 1}} - 1 - {3^n} cr
& = {2.3^n} - 1 > 0,,forall n ge 1 cr} )

c) Dãy số (left( {{c_n}} ight)) là một dãy số giảm. 

Xét hiệu ({c_{n + 1}} - {c_{n.}})

({{n + 1} over {{{left( {n + 1} ight)}^2} + 1}} - {n over {{n^2} + 1}} < 0)

zaidap.com