Câu 3.5 trang 86 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho số nguyên dương n và cho n số thực dương

Cho số nguyên dương n và cho n số thực dương ({x_1},{x_2},...,{x_n}) thỏa mãn điều kiện ({x_1}{x_2}...{x_n} = 1). Chứng minh rằng ({x_1} + {x_2} + ... + {x_n} ge n.)

Giải

Ta sẽ giải bài toán bằng phương pháp quy nạp.

Kí hiệu bất đẳng thức cần chứng minh theo yêu cầu của đề bài bởi (1)

Với (n = 1,) theo giả thiết bài toán ta có ({x_1} = 1.) Vì thế, ta có (1) đúng khi (n = 1.)

Với (n = 2,) xét hai số thực dương tùy ý ({x_1},{x_2}) thỏa mãn điều kiện

({x_1}{x_2} = 1.)               (2)

Hiển nhiên, trong hai số ({x_1},{x_2}) phải có một số không lớn hơn 1 và một số không bé hơn 1. Không mất tổng quát, giả sử ({x_1} le 1) và ({x_2} ge 1.) Khi đó, ta có

(left( {1 - {x_1}} ight)left( {{x_2} - 1} ight) ge 0)

Suy ra ({x_1} + {x_2} ge 1 + {x_1}{x_2} ge 2) (do (2)). Điều này chứng tỏ (1) đúng khi (n = 2)

Giả sử có (1) đúng khi (n = k,k in N^*) và (k ge 2,) tức là giả sử với k số thực dương tùy ý ({x_1},{x_2},...,{x_k}) thỏa mãn điều kiện ({x_1},{x_2},...,{x_k}) ta luôn có

({x_1} + {x_2} + ... + {x_k} ge k)

Xét (k + 1) số thực dương tùy ý ({x_1},{x_2},...,{x_{k - 1}},{x_k}{x_{k + 1}}) có tích bằng 1 nên theo giả thiết quy nạp ta có

({x_1} + {x_2} + ... + {x_{k - 1}} + {x_k}{x_{k + 1}} ge k)   (3)

Hơn nữa, dễ thấy trong (k + 1) số ({x_1},{x_2},...,{x_{k - 1}},{x_k}{x_{k + 1}}) phải có một số không lớn hơn 1 và một số không bé hơn 1. Không mất tổng quát, giả sử ({x_k} le 1) và ({x_{k + 1}} ge 1.) Khi đó ta có

(left( {1 - {x_k}} ight)left( {{x_{k +1}} - 1} ight) ge 0) hay ({x_k} + {x_{k + 1}} ge 1 + {x_k}{x_{k + 1}})    (4)

Từ (3) và (4) suy ra

({x_1} + {x_2} + ... + {x_{k - 1}} + {x_k} + {x_{k + 1}} ge )

({x_1} + {x_2} + ... + {x_{k - 1}} + {x_k}{x_{k + 1}} + 1 ge k + 1)

Như thế, ta cũng có (1) đúng khi (n = k + 1)

Từ các chứng minh trên suy ra ta có (1) đúng với n là một số nguyên dương tùy ý.

zaidap.com