Câu 4.10 trang 178 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn:

Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn:

                            (left| {{z over {z - i}}} ight| = k)

(k là số thực dương cho trước)

Giải

Viết (z = x + yileft( {x,y in R} ight)) thì

(left| {{z over {z - i}}} ight| = left| {{{x + yi} over {x + left( {y - 1} ight)i}}} ight| = k Leftrightarrow {{{x^2} + {y^2}} over {{x^2} + {{left( {y - 1} ight)}^2}}} = {k^2})

- Nếu (k = 1)  thì đẳng thức cuối này tương đương với (y = {1 over 2}.). Tập hợp cần tìm là đường thẳng (y = {1 over 2}) (đường trung trực của đoạn thẳng OI, I biểu diễn số i)

- Nếu (k e 1) thì đẳng thức cuối đó tương đương với

({x^2} + {y^2} - 2{{{k^2}} over {{k^2} - 1}}y + {{{k^2}} over {{k^2} - 1}} = 0)

Tức là tương đương với

({x^2} + {left( {y - {{{k^2}} over {{k^2} - 1}}} ight)^2} = {{{k^2}} over {{{left( {{k^2} - 1} ight)}^2}}})

Tập hợp cần tìm là đường tròn có tâm là điểm biểu diễn số ({{{k^2}} over {{k^2} - 1}}i,) có bán kính bằng (left| {{{{k^2}} over {{k^2} - 1}}} ight|)

Sachbaitap.com