Câu 35 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Giải phương trình y’ = 0 trong mỗi trường hợp sau :...

Giải phương trình y’ = 0 trong mỗi trường hợp sau :

a. y = sin2x – 2cosx

b. y = 3sin2x + 4cos2x + 10x

c. (y = {cos ^2}x + sin x)

d. (y = an x + cot x)

Giải:

a. Với mọi (x inmathbb R), ta có:

(y’ = 2cos 2x + 2sin x = 2left( {1 – 2{{sin }^2}x} ight) + 2sin x)

     (=-4{{sin }^2}x+2sin x+2)

Vậy (y’ = 0 Leftrightarrow 2{sin ^2}x – sin x – 1 = 0)

( Leftrightarrow left[ {matrix{   {sin x = 1}  cr   {sin x = -{1 over 2}}  cr  } } ight. Leftrightarrow left[ {matrix{   {x = {pi  over 2} + k2pi }  cr   {x =  – {pi  over 6} + k2pi }  cr   {x = {{7pi } over 6} + k2pi }  cr  }left( {k in mathbb Z} ight) } ight.)

b. Với mọi (x inmathbb R), ta có: (y’ = 6cos 2x – 8sin 2x + 10)

Vậy (y’ = 0 Leftrightarrow 4sin 2x – 3cos 2x = 5)

( Leftrightarrow {4 over 5}sin 2x – {3 over 5}cos 2x = 1,,left( 1 ight))

Vì ({left( {{4 over 5}} ight)^2} + {left( {{3 over 5}} ight)^2} = 1) nên có số (α) sao cho (cos alpha  = {4 over 5}, ext{ và },sin alpha  = {3 over 5})

Thay vào (1), ta được :

(eqalign{  & sin 2xcos alpha  – sinalpha cos2x = 1  cr  &  Leftrightarrow sin left( {2x – alpha } ight) = 1  cr  &  Leftrightarrow 2x – alpha  = {pi  over 2} + k2pi   cr  &  Leftrightarrow x = {1 over 2}left( {alpha  + {pi  over 2} + k2pi } ight),,left( {k inmathbb Z} ight) cr} )

c. Với mọi (x inmathbb R), ta có: (y’ =  – 2cos x{mathop{ m sinx} olimits}  + cosx = cosxleft( {1 – 2sin x} ight))

(eqalign{  & y’ = 0 Leftrightarrow cos xleft( {1 – 2sin x} ight) = 0 Leftrightarrow left[ {matrix{   { cos x = 0 }  cr   {1 – 2sin x = 0 }  cr  } } ight.   cr  & Leftrightarrow  left[ {matrix{   {x = {pi  over 2} + kpi}  cr   {{mathop{ m sinx} olimits}  = {1 over 2} Leftrightarrow left[ {matrix{   {x = {pi  over 6} + k2pi }  cr   {x = {{5pi } over 6} + k2pi }  cr  } } ight. }  cr  } } ight.  cr} )

Vậy (x = {pi  over 2} + kpi ;x = {pi  over 6} + k2pi ;x = {{5pi } over 6} + k2pi left( {k inmathbb Z} ight))

d.

(eqalign{  & y’ = {1 over {{{cos }^2}x}} – {1 over {{{sin }^2}x}},forall,x e k{pi  over 2}  cr  & y’ = 0 Leftrightarrow {1 over {{{cos }^2}x}} = {1 over {{{sin }^2}x}} Leftrightarrow { an ^2}x = 1  cr  &  Leftrightarrow an x =  pm 1 Leftrightarrow x =  pm {pi  over 4} + kpi ,k in mathbb Z cr} )