Câu 25 trang 205 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Viết phương trình tiếp tuyến của parabol...

Viết phương trình tiếp tuyến của parabol (y = {x^2}) , biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0 ; -1).

Hướng dẫn : Trước hết viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x₀ thuộc parabol đã cho. Sau đó tìm x₀ để tiếp tuyến đi qua điểm A (chú ý rằng điểm A không thuộc parabol).

Giải:

Đặt (fleft( x ight) = {x^2}) và gọi M₀ là điểm thuộc (P) với hoành độ x₀. Khi đó tọa độ của điểm M₀ là (left( {{x_0};fleft( {{x_0}} ight)} ight),hay,left( {{x_0};x_0^2} ight))

Cách 1 : Ta có: (y’ = 2x). Phương trình tiếp điểm của (P) tại điểm M₀ là

(y = 2{x_0}left( {x – {x_0}} ight) + x_0^2 Leftrightarrow y = 2{x_0}x – x_0^2)

Tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0 ; -1) nên ta có :

( – 1 = 2{x_0}.0 – x_0^2 Leftrightarrow {x_0} =  pm 1)

+ Với x₀ = 1 thì f(x₀) = 1, f ’(x₀) = 2 và phương trình tiếp tuyến phải tìm là :

(y = 2left( {x – 1} ight) + 1 Leftrightarrow y = 2x – 1) 

+ Với x₀ = -1 thì f(x₀) = 1, f ’(x₀) = -2

và phương trình tiếp tuyến phải tìm là :

(y =  – 2left( {x + 1} ight) + 1 Leftrightarrow y =  – 2x – 1)

Vậy có hai tiếp tuyến của (P) đi qua

A với các phương trình tương ứng là: (y = ±2x – 1)

Cách 2 : Phương trình đường thẳng (d) đi qua A(0 ; -1) với hệ số góc k là :

(y = kx – 1)

Để (d) tiếp xúc (P) tại điểm M₀ điều kiện cần và đủ là:

(left{ {matrix{   {fleft( {{x_0}} ight) = k{x_0} – 1}  cr   {f’left( {{x_0}} ight) = k}  cr  } } ight.,hay,left{ {matrix{   {x_0^2 = k{x_0} – 1}  cr   {2{x_0} = k}  cr  } } ight.)

Khử x₀ từ hệ này ta tìm được (k = ±2).

Vậy có hai tiếp tuyến của (P) đi qua điểm A(0 ; -1) với các phương trình là :

(y =  pm 2x – 1)