Câu 3 trang 178 Giải tích 11: cách giải phương trình dạng: A sin x + b cos x = c...

Bài 3. Nêu cách giải các phương trình lượng giác cơ bản, cách giải phương trình dạng:

(Asin x + b cos x = c)

Trả lời:

_ Phương trình lượng giác dạng cơ bản:

(eqalign{
& sin x = sin alpha Leftrightarrow left[ matrix{
x = alpha + k2pi hfill cr
x = pi – alpha + k2pi hfill cr} ight.;k in mathbb Z cr
& cos x = cos alpha Leftrightarrow x = pm alpha ,k in mathbb Z cr
& an x = an alpha Leftrightarrow x = alpha + kpi ,k in mathbb Z cr
& cot x = an alpha Leftrightarrow x = alpha + kpi ,k in mathbb Z cr} )

Hoặc:

(eqalign{
& sin x = a Leftrightarrow left[ matrix{
x = arcsin a + k2pi hfill cr
x = pi – arcsin a + k2pi hfill cr} ight.;k in mathbb Z cr
& cos x = a Leftrightarrow x = pm arccos a,k in mathbb Z cr
& an x = a Leftrightarrow x = arctan a + kpi ,k in mathbb Z cr
& cot x = a Leftrightarrow x = { m{ar}}ccot a + kpi ,k in mathbb Z cr} )

 _ Phương trình dạng : (a sin x + b cos x = c) (*)

Cách giải:

+ Chia cả hai vế của phương trình (*) cho (sqrt {{a^2} + {b^2}} )

 (Pt Leftrightarrow {a over {sqrt {{a^2} + {b^2}} }}sin x + {b over {sqrt {{a^2} + {b^2}} }}cos x = {c over {sqrt {{a^2} + {b^2}} }}(**))

Vì ({left( {{a over {sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} ight)^2} + {left( {{b over {sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} ight)^2} = 1) nên ta đặt:

 (cos alpha  = {a over {sqrt {{a^2} + {b^2}} }};sin alpha  = {b over {sqrt {{a^2} + {b^2}} }})

+ Khi đó phương trình (**)

(eqalign{
& Leftrightarrow sin x.cosalpha + cos x.sin alpha = {c over {sqrt {{a^2} + {b^2}} }} cr
& Leftrightarrow sin (x + alpha ) = {c over {sqrt {{a^2} + {b^2}} }} cr} )

Đây là phương trình cơ bản ta đã biết cách giải.