Câu 3.40 trang 92 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho cấp số cộng

Cho cấp số cộng (({u_n})) và cho các số nguyên dương m, k với (m < k). Chứng minh rằng

                       ({u_k} = {{{u_{k - m}} + {u_{k + m}}} over 2}.)

Áp dụng. Hãy tìm một cấp số cộng có 7 số hạng mà số hạng thứ ba bằng 2 và tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 10.

Giải

Kí hiệu d là công sai của cấp số cộng (({u_n})), ta có

(eqalign{
& {u_{k - m}} = {u_1} + (k - m - 1)d = {u_1} + (k - 1)d - md cr&= {u_k} - md, cr
& {u_{k + m}} = {u_1} + (k + m - 1)d = {u_1} + (k - 1)d + md cr&= {u_k} + md cr} )

Từ đó suy ra ({u_{k - m}} + {u_{k + m}} = 2{u_k}) hay ({u_k} = {{{u_{k - m}} + {u_{k + m}}} over 2}.)

Áp dụng. Với mỗi (n in left{ {1,2,3,4,5,6,7} ight},) kí hiệu ({u_n}) là số hạng thứ n của cấp số cộng cần tìm. Theo giả thiết cả bài ra, ta có ({u_3} = 2) và ({u_1} + {u_7} = 10)

Áp dụng kết quả đã chứng minh ở trên cho (m = 3) và (k = 4,) ta được

                                ({u_4} = {{{u_1} + {u_7}} over 2} = {{10} over 2} = 5)

Suy ra (d = {u_4} - {u_3} = 5 - 2 = 3.) Do đó

({u_1} = {u_3} - 2d = 2 - 2.3 =  - 4,)

({u_2} = {u_1} + d =  - 4 + 3 =  - 1,)

({u_5} = {u_4} + d = 5 + 3 = 8)

({u_6} = {u_5} + d = 8 + 3 = 11) và ({u_7} = {u_6} + d = 11 + 3 = 14)

zaidap.com