Câu 3.32 trang 91 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Trong mặt phẳng tọa độ, cho đồ thị

Trong mặt phẳng tọa độ, cho đồ thị (left( C ight)) của hàm số (y = 3x - 2.)

Với mỗi số nguyên dương n, gọi ({A_n}) là giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng x = n.

Xét dãy số (({u_n})) với (u_n) là tung độ của điểm (A_n). Chứng minh rằng dãy số (({u_n})) là một cấp số cộng. Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó.

Giải

Với mỗi số (n in N^*,) vì điểm ({A_n}) nằm trên đường thẳng (x = n) nên hoành độ của nó bằng n . Do ({A_n}) nằm trên đồ thị (C) nên tung độ ({u_n}) của nó được xác định bởi công thức

                                      ({u_n} = 3n - 2.)

Như vậy, theo đề bài ta cần chứng minh dãy số (({u_n})), với ({u_n} = 3n - 2), là một cấp số cộng.

Xét hiệu ({u_{n + 1}} - {u_n},) ta có với mọi (n ge 1;)

 ({u_{n + 1}} - {u_n} = (3.(n + 1) - 2) - (3n - 2) = 3).

Từ đó suy ra (({u_n})) là một cấp số cộng với số hạng đầu ({u_1} = 3.1 - 2 = 1)  và công sai (d = 3).

zaidap.com