Câu 3.19 trang 89 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Hãy xác định số thực a để dãy số

Hãy xác định số thực a để dãy số (({u_n}),) với ({u_n} = {{a{n^2} + 1} over {2{n^2} + 3}},) là:

a) Một dãy số giảm ;

b) Một dãy số tăng .

Giải

Viết lại công thức xác định ({u_n}) dưới dạng.

({u_n} = {a over 2} + {{2 - 3a} over {2.left( {2{n^2} + 3} ight)}})

Từ đó, ta có

({u_{n + 1}} - {u_n} = {{2 - 3a} over 2} imes left( {{1 over {2.{{left( {n + 1} ight)}^2} + 3}} - {1 over {2{n^2} + 3}}} ight),left( {forall n ge 1} ight))                     (1)

Dễ thấy

(left( {{1 over {2.{{left( {n + 1} ight)}^2} + 3}} - {1 over {2{n^2} + 3}}} ight), < 0,,left( {forall n ge 1} ight))

Vì thế, từ (1) suy ra

a)  (({u_n})) là một dãy số giảm ( Leftrightarrow {{2 - 3a} over 2} > 0 Leftrightarrow a < {2 over 3})

b) (({u_n})) là một dãy số tăng ( Leftrightarrow {{2 - 3a} over 2} < 0 Leftrightarrow a < {2 over 3})

zaidap.com