Câu 3.21 trang 89 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng dãy số

Chứng minh rằng dãy số (({u_n}),) với ({u_n} = {{7n + 5} over {5n + 7}},) là một dãy số tăng và bị chặn.

Giải

Viết lại công thức xác định ({u_n}) dưới dạng

                                ({u_n} = {7 over 5} - {{24} over {5.left( {5n + 7} ight)}})

Từ đó, suy ra

({u_{n + 1}} - {u_n} = {{24} over 5} imes left( {{1 over {5n + 7}} - {1 over {5left( {n + 1} ight) + 7}}} ight) > 0,,,left( {forall n ge 1} ight))

Và                           (1 le {u_n} le {7 over 5},,left( {forall n ge 1} ight),,,,left( {do,,0 < {1 over {5n + 7}} le {1 over {12}}} ight))

Vì thế, (left( {{u_n}} ight)) là một dãy số tăng và bị chặn.

zaidap.com