Câu 3.2 trang 85 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho số thực

Cho số thực (x e k2pi .) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có

(1 + cos x + cos 2x + ... + cos nx = {{sin {{left( {n + 1} ight)x} over 2}cos {{nx} over 2}} over {sin {x over 2}}})

Giải

Bằng phương pháp quy nạp, ta sẽ chứng minh

(1 + cos x + cos 2x + ... + cos nx = {{sin {{left( {n + 1} ight)x} over 2}cos {{nx} over 2}} over {sin {x over 2}}})    (1)     với mọi (n in N^*.)

Với (n = 1,) vì (x e k2pi ) (theo giả thiết) nên

(1 + cos x = 2{cos ^2}{x over 2} = {{sin {{left( {1 + 1} ight)x} over 2}cos {{1.x} over 2}} over {sin {x over 2}}})                    (2)

Như vậy (1) đúng khi (n = 1)

Giả sử đã có (1) đúng khi (n = k,k in N^*.) Khi đó , ta có

(eqalign{
& 1 + cos x + cos 2x + ... + cos kx + cos (k + 1)x cr&= {{sin {{left( {1 + 1} ight)x} over 2}cos {{kx} over 2}} over {sin {x over 2}}} + cos (k + 1)x cr
& = {{sin {{left( {k + 1} ight)x} over 2}cos {{kx} over 2} + cos (k + 1)x.sin {x over 2}} over {sin {x over 2}}} cr
& cr
& = {{sin {{left( {k + 1} ight)x} over 2}cos {{kx} over 2} - 2{{sin }^2}{{(k + 1)x} over 2}.sin {x over 2} + sin {x over 2}} over {sin {x over 2}}} cr
& = {{sin {{left( {k + 1} ight)x} over 2}left( {cos {{kx} over 2} - 2sin {{(k + 1)x} over 2}.sin {x over 2}} ight) + sin {x over 2}} over {sin {x over 2}}} cr
& = {{sin {{left( {k + 1} ight)x} over 2}left( {cos {{kx} over 2} + cos {{(k + 2)x} over 2} - cos {{kx} over 2}} ight) + sin {x over 2}} over {sin {x over 2}}} cr
& = {{{1 over 2}left( {sin {{left( {2k + 3} ight)x} over 2} - sin {x over 2}} ight) + sin {x over 2}} over {sin {x over 2}}} cr
& = {{sin {{left( {k + 2} ight)x} over 2}cos {{(k + 1)x} over 2}} over {sin {x over 2}}} cr} )

Nghĩa là ta cũng có (1) đúng khi (n = k + 1).

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi (n in N^*.)

zaidap.com