Câu 3.1 trang 85 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức sau: ...
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức sau:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức sau:
(1.2 + 2.5 + ... + n.left( {3n - 1} ight) = {n^2}left( {n + 1} ight))
Giải
Ta sẽ chứng minh
(1.2 + 2.5 + ... + nleft( {3n - 1} ight) = {n^2}left( {n + 1} ight)) (1)
Với mọi (n in N^*,) bằng phương pháp quy nạp.
Với (n = 1,) ta có (1.2 = 2 = {1^2}.left( {1 + 1} ight).) Như vậy, (1) đúng khi (n = 1.)
Giả sử (1) đúng khi (n = k,k in N^*) tức là giải sử đã có
(1.2 + 2.5 + ... + kleft( {3k - 1} ight) = {k^2}left( {k + 1} ight))
Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi (n = k + 1,) nghĩa là ta sẽ chứng minh
(1.2 + 2.5 + ... + k.left( {3k - 1} ight) + left( {k + 1} ight)left( {3k + 2} ight) )
(= {left( {k + 1} ight)^2}.left( {k + 2} ight))
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có
(eqalign{
& 1.2 + 2.5 + ... + k.left( {3k - 1}
ight) + left( {k + 1}
ight)left( {3k + 2}
ight) cr&= {k^2}.left( {k + 1}
ight) + left( {k + 1}
ight)left( {3k + 2}
ight) cr
& = left( {k + 1}
ight)left( {{k^2} + 3k + 2}
ight) cr
& = left( {k + 1}
ight)left( {k + 1}
ight)left( {k + 2}
ight) = {left( {k + 1}
ight)^2}.left( {k + 2}
ight) cr} )
Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi (n in N^*.)
zaidap.com
