Câu 2.96 trang 86 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm:

Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm:

a) ({25^{x + 1}} - {5^{x + 2}} + m = 0)

b) ({left( {{1 over 9}} ight)^x} - m.{left( {{1 over 3}} ight)^x} + 2m + 1 = 0.)

Giải

a) Đặt ({5^{x + 1}} = tleft( {t > 0} ight)) . Bài toán trở thành:

Tìm m để phương trình ({t^2} - 5t + m = 0) (1) có ít nhất một nghiệm dương.

Điều kiện để (1) có nghiệm là (Delta  = 25 - 4m ge 0)  hay (m le {{25} over 4}). Gọi các nghiệm của (1) là ({t_1}) và ({t_2}left( {{t_1} le {t_2}} ight)), theo hệ thức Vi-ét ({t_1} + {t_2} = 5) suy ra  ({t_2} > 0).

Vậy (m le {{25} over 4}) thì phương trình (1) có ít nhất nghiệm ({t_2} > 0), suy ra phương trình đã cho có nghiệm.

b) Đặt ({left( {{1 over 3}} ight)^x} = tleft( {t > 0} ight)). Bài toán trở thành

Tìm m để phương trình ({t^2} - mt + 2m + 1 = 0) (2) có ít nhất một nghiệm dương.Điều kiện để (2) có nghiệm là

                                (Delta  = {m^2} - 4left(2 {m + 1} ight) = {m^2} - 8m - 4 ge 0)

 hay (m le 4 - 2sqrt 5 ) hoặc (m ge 4 + 2sqrt 5 )

Gọi các nghiệm của (2) là ({t_1}) và ({t_2}left( {{t_1} le {t_2}} ight)), theo hệ thức Vi-ét

                      ({t_1} + {t_2} = m;{t_1}{t_2} = 2m + 1)

- Với (m ge 4 + 2sqrt 5 ) thì ({t_1} + {t_2} = m ge 4 + 2sqrt 5 ) suy ra ({t_2} > 0)

- Với (m <  - {1 over 2}) thì ({t_1}{t_2} < 0) suy ra ({t_2} > 0)

- Với ( - {1 over 2} < m < 4 - 2sqrt 5 ) thì ({t_1} + {t_2} < 0) và ({t_1}{t_2} < 0) suy ra ({t_1} < {t_2} < 0)

Vậy với (m <  - {1 over 2}) hoặc (m ge 4 + sqrt 5 ) thì phương trình (2) có ít nhất nghiệm ({t_2} > 0), suy ra phương trình đã cho có nghiệm.

Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu trực tiếp với

                                (Delta  = {m^2} - 8m - 4;S = m;P = 2m + 1)

Sachbaitap.com