Bài 34 trang 121 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

a)Cho phương trình

a) Cho phương trình ({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4mx + 4y + 2mz + {m^2} + 4m = 0)

Xác định m để nó là phương trình của một mặt cầu. Khi đó, tìm m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất.

b) Cho phương trình:

({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2xcos alpha  - 2ysin alpha  - 4z )

(- (4 + {sin ^2}alpha ) = 0)

Xác định (alpha ) để phương trình trên là phương trình của một mặt cầu. Khi đó, tìm (alpha ) để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất, lớn nhất.

Giải

a) Ta có a = -2m, b = 2, c = m, (d = {m^2} + 4m.)

Phương trình đã cho là phương trình của một mặt cầu khi và chỉ khi

(eqalign{  & {a^2} + {b^2} + {c^2} - d cr&= {( - 2m)^2} + {2^2} + {m^2} - {m^2} - 4m > 0  cr  &  Leftrightarrow {left( {2m - 1} ight)^2} + 3 > 0;forall m. cr} )

Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu với mọi m. Bán kính mặt cầu là :

(R = sqrt {{{left( {2m - 1} ight)}^2} + 3}  ge sqrt 3  Rightarrow {R_{min }} = sqrt 3 ) khi (m = {1 over 2}.)

b) Ta có :(a = cos alpha ,b =  - sin alpha ,c =  - 2,d =  - (4 + {sin ^2}alpha ))

(eqalign{  &  {a^2} + {b^2} + {c^2} - d cr&= {cos ^2}alpha  + {sin ^2}alpha  + 4 + 4 + {sin ^2}alpha   cr  &  = 9 + {sin ^2}alpha  > 0;forall alpha . cr} )

Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu với mọi (alpha ).

Khi đó (R = sqrt {9 + {{sin }^2}alpha } )

Vì (0 le {sin ^2}alpha  le 1) nên (3 le R le sqrt {10} )

Vậy ({R_{min }} = 3) khi (alpha  = kpi ,(k in mathbb Z).)

       ({R_{max }} = sqrt {10} ) khi (alpha  = {pi  over 2} + lpi (l in mathbb Z).)

Sachbaitap.com