Bài 40 trang 125 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Viết phương trình mạt phẳng đi qua điểm

Viết phương trình mạt phẳng đi qua điểm M₀(1;1;1), cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C, sao cho thể tích của tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất.

Giải

Giả sử (A(a;0;0),B(0;b;0),C = (0;0;c)) với (a,b,c > 0) và (P) là mặt phẳng phải tìm. Phương trình của (P) là :

({x over a} + {y over b} + {z over c} = 1.)

Vì ({M_0} in left( P ight)) nên ({1 over a} + {1 over b} + {1 over c} = 1.)

Thể tích của tứ diện OABC là : ({V_{OABC}} = {1 over 6}abc.)

Theo bất đẳng thức Cô-si :

(1 = {1 over a} + {1 over b} + {1 over c} ge {3 over { oot 3 of {abc} }} Leftrightarrow abc ge 27)

( Rightarrow {V_{OABC}} ge {{27} over 6} = {9 over 2}), dấu bằng xảy ra khi (a=b=c=3.)

Vậy V_OABC nhỏ nhất bằng ({9 over 2}) khi (a=b=c=3), khi đó phương trình mặt phẳng (P) là (x+y+z-3=0.)

Sachbaitap.com