Bài 39 trang 124 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm

Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M₀(1;2;4), cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho (OA = OB = OC e 0.)

Giải

Mặt phẳng cần tìm đi qua điểm M₀(1;2;4) có phương trình:

 (a(x-1)+b(y-2)+c(z-4)=0)            (1)

hay (ax+by+cz=a+2b+4c) với (a + 2b + 4c e 0) (theo giả thiết)

Từ đó, ta xác định được tọa độ các giao điểm A, B, C là:

(eqalign{  & A = left( {{{a + 2b + 4c} over a};0;0} ight)cr&B = left( {0;{{a + 2b + 4c} over b};0} ight)  cr  & C = left( {0;0;{{a + 2b + 4c} over c}} ight) cr} )

Vì OA = OB = OC nên (O{A^2} = O{B^2} = O{C^2},) do đó ta có

({{{{left( {a + 2b + 4c} ight)}^2}} over {{a^2}}} = {{{{left( {a + 2b + 4c} ight)}^2}} over {{b^2}}} = {{{{left( {a + 2b + 4c} ight)}^2}} over {{c^2}}})

Hay ({a^2} = {b^2} = {c^2}). Có những trường hợp sau xảy ra:

+) Nếu a, b, c cùng dấu thì (a=b=c) và phương trình (1) trở thành

(x+y+z-7=0).

+) Nếu a, b cùng dấu và khác dấu với c thì (a=b=-c). Phương trình (1) trở thành

(x+y-z+1=0).

+) Nếu a, c cùng dấu và khác dấu với c thì (a=c=-b). Phương trình (1) trở thành

(x-y+z-3=0).

+) Nếu b, c cùng dấu và khác dấu với a thì (–a=b=c). Phương trình (1) trở thành :

(-x+y+z-5=0).

Sachbaitap.com