Câu 2.93 trang 85 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Dùng phương pháp đặt ẩn phụ để giải các phương trình sau:

Dùng phương pháp đặt ẩn phụ để giải các phương trình sau:

a) (4{log _9}x + {log _x}3 = 3)                                          

b) ({log _x}2 - {log _4}x + {7 over 6} = 0)                                               

c) ({{1 + {{log }_3}x} over {1 + {{log }_9}x}} = {{1 + {{log }_{27}}x} over {1 + {{log }_{81}}x}}.)

Giải

a) Ta có: ({log _x}3 = {1 over {{{log }_3}x}}). Đặt (t = {log _3}x(t e 0)) dẫn đến phương trình

(2{t^2} - 3t + 1 = 0)

(Leftrightarrow left[ matrix{
t = 1 hfill cr
t = {1 over 2} hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
{log _3}x = 1 hfill cr
{log _3}x = {1 over 2} hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
x = 3 hfill cr
x = sqrt 3 hfill cr} ight.)

Vậy phương trình có hai nghiệm: (x = 3) và (x = sqrt 3 ) 

b) Ta có: ({log _x}2 = {1 over {{{log }_2}x}}).            

Đặt (t = {log _2}x(t e 0)) dẫn đến phương trình

( - 3{t^2} + 7t + 6 = 0)

( Leftrightarrow left[ matrix{
t = 3 hfill cr
t = {{ - 2} over 3} hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
{log _2}x = 3 hfill cr
{log _2}x = {{ - 2} over 3} hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
x = 8 hfill cr
x = {2^{{{ - 2} over 3}}} hfill cr} ight.)

Vậy phương trình có hai nghiệm: (x = 8) và (x = {2^{ - {2 over 3}}})

c) Đặt (t = {log _3}x), ta có

(eqalign{& {{1 + t} over {1 + {1 over 2}t}} = {{1 + {1 over 3}t} over {1 + {1 over 4}t}}cr&Leftrightarrow 3left( {1 + t} ight)left( {4 + t} ight) = 2left( {2 + t} ight)left( {3 + t} ight)  cr&  Leftrightarrow 12 + 15t + 3{t^2} = 12 + 10t + 2{t^2} Leftrightarrow {t^2} + 5t = 0 cr} )

 (, Leftrightarrow t = 0) hoặc (t =  - 5)

Với (t = 0) thì ({log _3}x = 0), nên (x = {3^0} = 1)

Với (t =  - 5) thì ({log _3}x =  - 5), nên (x = {3^{ - 5}} = {1 over {243}})

Vậy phương trình có hai nghiệm: (x = 1) và (x = {1 over {243}})

Sachbaitap.com