Câu 2.80 trang 83 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Chứng minh rằng đồ thị của hai hàm số

Chứng minh rằng đồ thị của hai hàm số (y = {a^x}) và (y =  - {log _a}left( { - x} ight)) đối xứng với nhau qua đường thẳng (y = -x).

Giải

Gọi (left( {{G_1}} ight)) và (left( {{G_2}} ight)) lần lượt là đồ thị của các hàm số (y = {a^x}) và (y =  - {log _a}left( { - x} ight)).

(Mleft( {{x_0};{y_0}} ight)) là một điểm bất kì. Khi đó điểm đối xứng với M qua đường thẳng (y =  - x) là (M'left( { - {y_0};{x_0}} ight)). Ta có

(M in left( {{G_1}} ight) Leftrightarrow {y_0} = {a^{{x_0}}} Leftrightarrow {x_0} = {log _a}{y_0} )

(Leftrightarrow  - {x_0} =  - log left[ { - left( { - {y_0}} ight)} ight] Leftrightarrow M' in left( {{G_2}} ight))

Điều đó chứng tỏ (left( {{G_1}} ight)) và (left( {{G_2}} ight)) đối xứng với nhau qua đường thẳng (y =  - x).

Sachbaitap.com