Bài 27 trang 120 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.

a) Chứng minh ({A'C}  ot (AB'D').)

b) Gọi M là trung điểm của AD, N là trung điểm của BB’. Chứng minh (A'C ot MN.)

c) Tính cô sin của góc giữa hai vec tơ (overrightarrow {MN} ) và (overrightarrow {AC'} ).

d) Tính ({V_{A'CMN}})

Giải

Thiết lập hệ trục tọa độ như hình vẽ (h.97).Ta có

A(0;0;0); A’(0;0;a); C’(a;a;a); D(0;a;0)

B(a;0;0); D’(0;a;a); B’(a;0;a), C(a;a;0).

a) Ta có :

 (eqalign{  & overrightarrow {A'C}  = (a;a; - a),  cr  & overrightarrow {AB'}  = (a;0;a),overrightarrow {AD'}  = (0;a;a)  cr  &  Rightarrow overrightarrow {A'C} .overrightarrow {AB'}  = 0,overrightarrow {A'C} .overrightarrow {AD'}  = 0  cr  &  Rightarrow overrightarrow {A'C}  ot overrightarrow {{ m{AB'}}} ,overrightarrow {A'C}  ot overrightarrow {AD'}   cr  &  Rightarrow A'C ot mp(AB'D'). cr} )

b) Ta lại có :

 (eqalign{  & N(a;0;{a over 2}),Mleft( {0;{a over 2};0} ight) Rightarrow overrightarrow {MN}  = left( {a; - {a over 2};{a over 2}} ight)  cr  &  Rightarrow overrightarrow {MN} .overrightarrow {A'C}  = {a^2} - {{{a^2}} over 2} - {{{a^2}} over 2} = 0 Rightarrow MN ot A'C. cr} )

c) (overrightarrow {AC'}  = (a;a;a)) nên

(cos left( {overrightarrow {MN} ,overrightarrow {AC'} } ight) = {{overrightarrow {MN} .overrightarrow {AC'} } over {left| {overrightarrow {MN} } ight|.left| {overrightarrow {AC'} } ight|}} = {{{a^2} - {{{a^2}} over 2} + {{{a^2}} over 2}} over {sqrt {{{3{a^2}} over 2}} .sqrt {3{a^2}} }} = {{sqrt 2 } over 3})

d) (eqalign{  & {V_{A'CMN}} = {1 over 6}left| {left[ {overrightarrow {A'N} .overrightarrow {A'M} } ight].overrightarrow {A'C} } ight|.  cr  &  cr} )

Ta có :

(eqalign{  & overrightarrow {A'N}  = (a;0; - {a over 2}),overrightarrow {A'M}  = left( {0;{a over 2}; - a} ight).  cr  &   left[ {overrightarrow {A'N} ,overrightarrow {A'M} } ight] = left( {left| matrix{  0 hfill cr  {a over 2} hfill cr}  ight.left. matrix{   - {a over 2} hfill cr   - a hfill cr}  ight|;left| matrix{   - {a over 2} hfill cr  a hfill cr}  ight.left. matrix{  a hfill cr   hfill cr  0 hfill cr}  ight|;left| matrix{  a hfill cr   hfill cr  0 hfill cr}  ight.left. matrix{  0 hfill cr  {a over 2} hfill cr}  ight|} ight) cr&= left( {{{{a^2}} over 4};{a^2};{{{a^2}} over 2}} ight)  cr  &  Rightarrow {V_{A'CMN}} = {1 over 6}left| {{{{a^3}} over 4} + {a^3} - {{{a^3}} over 2}} ight| = {1 over 6}left| {{{3{a^3}} over 4}} ight| = {{{a^3}} over 8}. cr} )

Sachbaitap.com