Bài 31 trang 121 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

a)Viết phương trình mặt cầu đi qua

a) Viết phương trình mặt cầu đi qua A(1;2;-4), B(1;-3;1), C(2;2;3) và có tâm nằm trên mp(Oxy).

b) Viết phương trình mặt cầu đi qua hai điểm A(3;-1;2), B(1;1;-2) và có tâm thuộc trục Oz.

c) Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2), D(2;2;1).

Giải

a) Gọi I là tâm mặt cầu. Vì (I in mp(Oxy)) nên I=(x;y;0). Theo giả thiết, ta có (A{I^2} = B{I^2} = C{I^2}), suy ra

 (Rightarrow left{ matrix{  x =  - 2 hfill cr  y = 1 hfill cr}  ight. Rightarrow I( - 2;1;0). )

Bán kính của mặt cầu là:

(R = AI = sqrt {{{left( { - 2 - 1} ight)}^2} + {{left( {1 - 2} ight)}^2} + {4^2}}  = sqrt {26} )

Vậy  phương trình mặt cầu là:

({(x + 2)^2} + {(y - 1)^2} + {z^2} = 26.)

b) Gọi I là tâm mặt cầu, (I in Oz) nên I = (0;0;z).

Theo giả thiết (A{I^2} = B{I^2}), ta có phương trình

({( - 3)^2} + {1^2} + {(z - 2)^2} = {( - 1)^2} + {( - 1)^2} + {(z + 2)^2})

(Rightarrow 8z = 8 Rightarrow z = 1)

Vậy (I=(0;0;1)) và (AI = sqrt {11} .)

Phương trình mặt cầu cần tìm là

({x^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 11)

c) Phương trình mặt cầu (S) cần tìm có dạng

Ta có : (eqalign{  & {(x)^2} + {(y)^2} + {(z)^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0  cr  & A in (S) Leftrightarrow 2a + 2b + 2c - d = 3.  cr  & B in (S) Leftrightarrow 2a + 4b + 2c - d = 6.  cr  & C in (S) Leftrightarrow 2a + 2b + 4c - d = 6.  cr  & D in (S) Leftrightarrow 4a + 4b + 2c - d = 9. cr} )

Từ đó ta suy ra (a = {3 over 2};b = {3 over 2};c = {3 over 2};d = 6.)

Vậy phương trình mặt cầu là :

({x^2} + {y^2} + {z^2} - 3x - 3y - 3z + 6 = 0.)

Sachbaitap.com