Bài 35 trang 123 Sách bài tập hình học lớp 12 nâng cao

viết phương trình mặt phẳng :

Cho điểm ({M_0}({x_0},{y_0},{z_0})) với ({x_0},{y_0},{z_0} e 0.) Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng :

a) Đi qua diểm M₀ và song song với một trong các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Oxz).

b) Đi qua các hình chiếu của điểm M₀ trên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.

c) Đi qua điểm M₀ và lần lượt chứa các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.

Giải

a) Mặt phẳng qua ({M_0}({x_0},{y_0},{z_0})) và song song với mặt phẳng mp(Oxy) có vec tơ pháp tuyến là (overrightarrow k  = (0;0;1)) nên có phương trình là (z - {z_0} = 0.)

Phương trình mặt phẳng qua ({M_0}({x_0},{y_0},{z_0})) và song song với mp(Oxz) là :

(y - {y_0} = 0).

Phương trình mặt phẳng qua ({M_0}({x_0},{y_0},{z_0})) và song song với mp(Oyz) là :

(x - {x_0} = 0)

b) Gọi ({M_1},{M_2},{M_3}.) lần lượt là hình chiếu của điểm M₀ trên các trục Ox, Oy, Oz. Khi đó : ({M_1} = ({x_0};0;0),{M_2} = (0;{y_0};0),{M_3} = (0;0;{z_0}))

Vậy phương trình mặt phẳng (({M_1}{M_1}{M_3})) là :

({x over {{x_0}}} + {y over {{y_0}}} + {z over {{z_0}}} = 1.)

c) Gọi (({P_x})) là mặt phẳng chứ điêm M₀ và trục Ox. Khi đó vec tơ pháp tuyến của nó là :

(overrightarrow {{n_x}}  = left[ {overrightarrow {O{M_0}} ,overrightarrow i } ight] = left( {left| matrix{  {y_0} hfill cr  0 hfill cr}  ight.left. matrix{  {z_0} hfill cr  0 hfill cr}  ight|;left| matrix{  {z_0} hfill cr  0 hfill cr}  ight.left. matrix{  {x_0} hfill cr  1 hfill cr}  ight|;left| matrix{  {x_0} hfill cr  1 hfill cr}  ight.left. matrix{  {y_0} hfill cr  0 hfill cr}  ight|} ight) )

       (= (0;{z_0}; - {y_0}))

Vậy (({P_x})) có phương trình là ({z_0}y - {y_0}z = 0.)

Tương tự , phương trình mặt phẳng chứa điểm M₀ và trục Oy là:

({z_0}x - {x_0}z = 0.)

Phương trình mặt phẳng chứa điểm M₀ và trục Oz là: 

({y_0}x - {x_0}y = 0.)

Sachbaitap.com