Câu 2.85 trang 84 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Chứng minh rằng hàm số

a) Chứng minh rằng hàm số (y = {{{2^x} - {2^{ - x}}} over 3}) đồng biến trên R                                               

b) Chứng minh rằng hàm số (y = {log _{{1 over 2}}}x - {log _{{1 over 2}}}left( {x + 1} ight)) nghịch biến trên tập các số thực dương.      

Giải

a) Với ({x_1},{x_2}) bất kì thuộc R ta có

({y_1} - {y_2} = {{{2^{{x_1}}} - {2^{ - {x_1}}}} over 3} - {{{2^{{x_2}}} - {2^{ - {x_2}}}} over 3} = {{{2^{{x_1}}} - {2^{{x_2}}}} over 3} + {{{2^{ - {x_2}}} - {2^{ - {x_1}}}} over 3})

Vì hàm số (y = {2^x}) đồng biến trên R ,nên ({{{2^{{x_1}}} - {2^{{x_2}}}} over 3} < 0;{{{2^{ - {x_2}}} - {2^{ - {x_1}}}} over 3} < 0)

Do đó ({y_1} - {y_2} < 0) , tức là ({y_1} < {y_2}).

Vậy hàm số (y = {{{2^x} - {2^{ - x}}} over 3}) đồng biến trên R.

b) Cách làm tương tự câu a) với lưu ý hàm số (y = {log _{{1 over 2}}}x) nghịch biến trên tập các số thực dương.

Sachbaitap.com