Bài 16 trang 118 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Tìm m để ba vectơ đồng phẳng.

a) Cho (overrightarrow u (2; - 1;1),overrightarrow v (m;3; - 1),overrightarrow { m{w}} (1;2;1).)

Tìm m để ba vectơ đồng phẳng.

b) Cho (overrightarrow u (1;2;3),overrightarrow v (2;1;m),overrightarrow { m{w}} (2;m;1).)

Tìm m để ba vec tơ trên không đồng phẳng.

c) Cho (overrightarrow u (1;1;2),overrightarrow v ( - 1;3;1).) Tìm vec tơ đơn vị đồng phẳng với (overrightarrow u ,overrightarrow v ) và tạo với (overrightarrow u ) góc 45⁰.

Giải

a)

(eqalign{  & left[ {overrightarrow u ,overrightarrow v } ight] = left( {left| matrix{   - 1 hfill cr  3 hfill cr}  ight.left. matrix{  1 hfill cr   - 1 hfill cr}  ight|;left| matrix{  1 hfill cr   - 1 hfill cr}  ight.left. matrix{  2 hfill cr  m hfill cr}  ight|;left| matrix{  2 hfill cr  m hfill cr}  ight.left. matrix{   - 1 hfill cr  3 hfill cr}  ight|} ight)  cr  &  = ( - 2;m + 2;m + 6).  cr  & left[ {overrightarrow u ,overrightarrow v } ight].overrightarrow { m{w}}  =  - 2 + 2m + 4 + m + 6 = 3m + 8. cr} )

(overrightarrow u ,overrightarrow v ,overrightarrow { m{w}} ) đồng phẳng ( Leftrightarrow left[ {overrightarrow u ,overrightarrow v } ight]overrightarrow { m{w}}  = 0 Leftrightarrow 3m + 8 = 0 Leftrightarrow m =  - {8 over 3}.)

(b);m e 1) và (m e 9.)

c) Gọi vec tơ phải tìm là (overrightarrow { m{w}} (x;y;z).)

Theo giả thiết (left| {overrightarrow { m{w}} } ight| = {x^2} + {y^2} + {z^2} = 1)

(eqalign{  & cos left( {overrightarrow u ,overrightarrow { m{w}} } ight) = cos {45^0} = {{sqrt 2 } over 2} cr&Rightarrow {{x + y + 2z} over {sqrt 6 }} = {{sqrt 2 } over 2}  cr  &  Rightarrow x + y + 2z = sqrt 3 . cr} )

Mặt khác (overrightarrow u ,overrightarrow v ,overrightarrow { m{w}} ) đồng phẳng nên (overrightarrow { m{w}}  = koverrightarrow u  + loverrightarrow v .)

( Rightarrow left{ matrix{  x = k - l hfill cr  y = k + 3l hfill cr  z = 2k + l hfill cr}  ight. Rightarrow 5x + 3y - 4z = 0.)

Vậy ta có hệ phương trình :

(eqalign{  & left{ matrix{  {x^2} + {y^2} + {z^2} = 1 hfill cr  x + y + 2z = sqrt 3  hfill cr  5x + 3y - 4z = 0 hfill cr}  ight. Rightarrow left{ matrix{  x = 5z - {{3sqrt 3 } over 2} hfill cr  y = {{5sqrt 3 } over 2} - 7z hfill cr}  ight.  cr  &  Rightarrow 150{z^2} - 100sqrt 3 z + 49 = 0  cr  &  Rightarrow z = {{(10 pm sqrt 2 )sqrt 3 } over {30}} Rightarrow x = {{left( {1 pm sqrt 2 } ight)sqrt 3 } over 6},cr&y = {{left( {5 pm 7sqrt 2 } ight)sqrt 3 } over {30}}. cr} )

Kết luận : Có hai vectơ thỏa mãn yêu cầu của bài toán :

( left( {{{left( {1 + sqrt 2 } ight)sqrt 3 } over 6};{{left( {5 - 7sqrt 2 } ight)sqrt 3 } over {30}};{{(10 + sqrt 2 )sqrt 3 } over {30}}} ight)  )

(left( {{{left( {1 - sqrt 2 } ight)sqrt 3 } over 6};{{left( {5 + 7sqrt 2 } ight)sqrt 3 } over {30}};{{(10 - sqrt 2 )sqrt 3 } over {30}}} ight)  )

Sachbaitap.com