Bài 36 trang 124 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng : ...
Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng :
Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng :
a) Đi qua ba điểm A(-1;2;3),B(2;-4;3), C(4;5;6).
b) Đi qua điểm M0(1;3;-2) và vuông góc với trục Oy.
c) Đi qua điểm M0(1;3;-2) và vuông góc với đường thẳng BC với B=(0;2;-3), C=(1;-4;1).
d) Đi qua điểm M0(1;3;-2) và song song với mặt phẳng
2x-y+3z+4=0.
e) Đi qua hai điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuông góc với mặt phẳng 2x-y+3z+4=0.
g) Đi qua điểm M0(2;-1;2),song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng 2x-y+3z+4=0.
h) Đi qua điểm M0(-2;3;1) và vuông góc với hai mặt phẳng
(eqalign{
& left( alpha
ight):2x + y + 2z + 5 = 0 cr
& left( {alpha '}
ight):3x + 2y + z - 3 = 0 cr} )
Giải
a) Cách 1: Mặt phẳng cần tìm có vec tơ pháp tuyến là :
(eqalign{ & overrightarrow n = left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} } ight]. cr & overrightarrow {AB} = (3; - 6;0),overrightarrow {AC} = (5;3;3) cr&Rightarrow overrightarrow n = left( {left| matrix{ - 6 hfill cr 3 hfill cr} ight.left. matrix{ 0 hfill cr 3 hfill cr} ight|;left| matrix{ 0 hfill cr 3 hfill cr} ight.left. matrix{ 3 hfill cr 5 hfill cr} ight|;left| matrix{ 3 hfill cr 5 hfill cr} ight.left. matrix{ - 6 hfill cr 3 hfill cr} ight|} ight) cr & = ( - 18; - 9;39). cr} )
Hiển nhiên ({1 over 3}overrightarrow n = ( - 6; - 3;13)) cũng là vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm . Vậy mặt phẳng cần tìm đi qua điểm A(-1;2;3) với vec tơ pháp tuyến (-6;-3;13) nên có phương trình :
(-6(x+1)-3(y-2)+13(z-3)=0)
hay (-6x-3y+13z-39=0.)
Cách 2: Mặt phẳng cần tìm có phương trình dạng :
Ax+By+Cz+D=0.
Vì ba điểm A, B, C nằm trên mặt phẳng đó nên tọa độ của chúng phải thỏa mãn phương trình mặt phẳng và ta có hệ :
(left{ matrix{ - A + 2B + 3C + D = 0 hfill cr 2A - 4B + 3C + D = 0 hfill cr 4A + 5B + 6C + D = 0. hfill cr} ight.)
( Rightarrow left{ matrix{ - 3A + 6B = 0 hfill cr 2A + 9B + 3C = 0 hfill cr} ight. Rightarrow left{ matrix{ A = 2B hfill cr B = - {3 over {13}}C. hfill cr} ight.)
Suy ra :(A = 2B = - {6 over {13}}C,D = A - 2B - 3C = - 3C.)
Ta có thể chọn (C=13), khi đó (A=-6, B=-3, D=-39) và phương trình mặt phẳng cần tìm là
(-6x-3y+13z-39=0.)
b) Mặt phẳng qua M0(1;3;-2), vuông góc với trục Oy nên nó song song với mp(Oxz).
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là (y=3) (xem bài 35a).
Ta có thể giải cách khác như sau:
Mặt phẳng cần tìm là vec tơ pháp tuyến (overrightarrow n = overrightarrow j = (0;1;0)) nên có phương trình :
(0(x - 1) + 1.(y - 3) + 0(z + 2) = 0 Leftrightarrow y - 3 = 0.)
c) Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là (overrightarrow n = overrightarrow {BC} = (1; - 6;4)),
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là:
(1(x-1)-6(y-3)+4(z+2)=0)
hay (x-6y+4z+25=0.)
d) Mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng : 2x-y+3z+4=0 nên phương trình có dạng
2x-y+3z+D=0 với (D e 4). Vì M0(1;3;-2) thuộc mặt phẳng đó nên (2.1-3+3.(-2)+D=0 Rightarrow D = 7.)
Phương trình mặt phẳng cần tìm là: (2x-y+3z+7=0.)
Ta cũng có thể giải bằng cách khác như sau: Vì mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng 2x-y+3z+4=0 nên nó có một vect ơ pháp tuyến là (overrightarrow n = (2; - 1;3)).
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là
(2(x - 1) - 1(y - 3) + 3(z + 2) = 0 )
(Leftrightarrow 2x - y + 3z + 7 = 0.)
e) Véc tơ pháp tuyến (overrightarrow n ) của mặt phẳng cần tìm vuông góc với hai vec tơ (overrightarrow {AB} = ( - 1; - 2;5)) và (overrightarrow {n'} = (2; - 1;3)) ((overrightarrow {n'} ) là vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng (2x-y+3z+4=0)).
Vậy ta lấy (overrightarrow n = left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {n'} } ight] = left( {left| matrix{ - 2 hfill cr - 1 hfill cr} ight.left. matrix{ 5 hfill cr 3 hfill cr} ight|;left| matrix{ 5 hfill cr 3 hfill cr} ight.left. matrix{ - 1 hfill cr 2 hfill cr} ight|;left| matrix{ - 1 hfill cr 2 hfill cr} ight.left. matrix{ - 2 hfill cr - 1 hfill cr} ight|} ight) )
(= ( - 1;13;5).)
Do đó phương trình mặt phẳng cần tìm là:
(-1(x-3)+13(y-1)+5(z+1)=0)
hay (x-13y-5z+5=0.)
g) Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng 2x-y+3z+4=0 là (overrightarrow {n'} = (2; - 1;3).)
Vec tơ pháp tuyến (overrightarrow n ) của mặt phẳng cần tìm là :
(overrightarrow n = left[ {overrightarrow j ,overrightarrow {n'} } ight] = left( {left| matrix{ 1 hfill cr - 1 hfill cr} ight.left. matrix{ 0 hfill cr 3 hfill cr} ight|;left| matrix{ 0 hfill cr 3 hfill cr} ight.left. matrix{ 0 hfill cr 2 hfill cr} ight|;left| matrix{ 0 hfill cr 2 hfill cr} ight.left. matrix{ 1 hfill cr - 1 hfill cr} ight|} ight) )
(= (3;0; - 2).)
Vậy phương trình của nó là :
(3x-2z-2=0.)
h) Mặt phẳng (left( alpha ight)) và (left( {alpha '} ight)) có vec tơ pháp tuyến lần lượt là (overrightarrow {{n_alpha }} = (2;1;2),overrightarrow {n{'_alpha }} = (3;2;1).)
Mặt phẳng cần tìm vuông góc với (left( alpha ight)) và (left( {alpha '} ight)) nên có vec tơ pháp tuyến là
Vậy phương trình của mặt phẳng cần tìm là:
(-3(x+2)+4(y-3)+1(z-1))
hay (3x-4y-z+19 = 0.)
Sachbaitap.com
