Bài 64 trang 132 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Trong không gian tọa độ Oxyz cho bốn đường thẳng :

Trong không gian tọa độ Oxyz cho bốn đường thẳng :

(eqalign{  & {d_1}:{{x - 1} over 1} = {{y - 2} over 2} = {z over { - 2}},cr&{d_2}:{{x - 2} over 2} = {{y - 2} over 4} = {z over { - 4}}.  cr  & {d_3}:{x over 2} = {y over 1} = {{z - 1} over 1},{d_4}:{{x - 2} over 2} = {y over 2} = {{z - 1} over { - 1}}. cr} )

a) Chứng minh hai đường thẳng d₁ và d₂ cùng nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đó.

b) Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng d cắt cả bốn đường thẳng đã cho. Hãy viết phương trình chính tắc của đường thẳng d.

Giải

a) Đường thẳng d₁ đi qua điểm M₁ ( 1 ; 2; 0) và có vectơ chỉ phương (overrightarrow {{u_1}} )(1 ; 2; -2). Đường thẳng d₂ đi qua điểm M₂(2 ; 2 ; 0) và có vectơ chỉ phương (overrightarrow {{u_2}} ) (2 ; 4 ; -4). Rõ ràng (overrightarrow {{u_2}} )= 2(overrightarrow {{u_1}} ) nên d₁, d₂ cùng nằm trên một mặt phẳng, ta gọi là mp((alpha ))

Ta có vectơ pháp tuyến của mp((alpha )) là

(overrightarrow {{n_alpha }}  = left[ {overrightarrow {{u_1}} ,overrightarrow {{M_1}{M_2}} } ight]= (0 ; -2 ; -2)).

Vậy phương trình mặt phẳng ((alpha )) là:

(0(x - 1) - 2(y - 2) - 2(z - 0) = 0) 

 ((alpha ): y + z - 2 = 0.)

b) Gọi A là giao điểm của đường thẳng d₃ và mp((alpha )). Toạ độ của A thoả mãn hệ

(left{ matrix{  x = 2t hfill cr  y = t hfill cr  z = 1 + t hfill cr  y + z - 2 = 0 hfill cr}  ight. Rightarrow t = {1 over 2})

Suy ra A= (left( {1;{1 over 2};{3 over 2}} ight)) 

Gọi B là giao điểm của đường thẳng d₄ và mp((alpha )). Tương tự như trên, ta có B = (4 ; 2 ; 0).

Đường thẳng AB nằm trong ((alpha )) cắt cả d₃ và d₄.

Mặt khác (overrightarrow {AB} ) =(left( {3;{3 over 2}; - {3 over 2}} ight)) không cùng phương với (overrightarrow {{u_1}} )(1 ; 2 ; -2). Do đó AB cắt cả d_] và d₂. Vậy AB chính là đường thẳng d cần tìm.

            (d:{{x - 4} over 2} = {{y - 2} over 1} = {z over { - 1}})

Sachbaitap.com