Bài 67 trang 133 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Tính khoảng cách từ điểm M0

Tính khoảng cách từ điểm M₀ tới đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau :

(a);{M_0}(2;3;1),d:{{x + 2} over 1} = {{y - 1} over 2} = {{z + 1} over { - 2}}.)

(b);{M_0}(2;3; - 1),) d là giao tuyến của hai mặt phẳng

(left( alpha  ight):x + y - 2z - 1 = 0) và (left( {alpha '} ight):x + 3y + 2z + 2 = 0;)

(eqalign{  & c);{M_0}(1;2;1),d:{x over 3} = {{y - 1} over 4} = {{z + 3} over 1}.  cr  & d);{M_0}(1;0;0),d:{{x - 2} over 1} = {{y - 1} over 2} = {z over 1}. cr} )

Giải

a) Đường thẳng d đi qua điểm M (-2; 1; -1) và có vectơ chỉ phương (overrightarrow u left( {1{ m{ }};{ m{ }}2{ m{ }};{ m{ }} - 2} ight).) Ta có (overrightarrow {{M_0}M} { m{ }} = left( { - 4{ m{ }};{ m{ }} - 2{ m{ }};{ m{ }} - 2} ight))

({ m{ }}left[ {overrightarrow u ,overrightarrow {{M_0}M} } ight]{ m{ }} = { m{ }}left( { - 8{ m{ }};{ m{ }}10{ m{ }};{ m{ }}6} ight))

( Rightarrow dleft( {{M_o},d} ight) = {{left| {left[ {overrightarrow u ,overrightarrow {{M_0}M} } ight]} ight|} over {left| {overrightarrow u } ight|}} = {{sqrt {{{( - 8)}^2} + {{10}^2} + {6^2}} } over {sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} }} )

                       (= {{sqrt {200} } over 3} = {{10sqrt 2 } over 3})

b) Ta xác định được một vectơ chỉ phương của d  là (overrightarrow u )= (4 ; -2 ; 1).

Mặt phẳng ((alpha )) đi qua M_o(2 ; 3 ; -1) và vuông góc với d có phương trình

(4(x - 2) - 2(y - 3) + 1(z+ 1) = 0)

(Leftrightarrow 4x - 2y + z - 1=0.)

Gọi H  là giao điểm của d và ((alpha )). Toạ độ điểm H là nghiệm của hệ :

(left{ matrix{  4x - 2y + z - 1 = 0 hfill cr  x + y - 2z - 1 = 0 hfill cr  x + 3y + 2z + 2 = 0 hfill cr}  ight. Rightarrow H = left( {{3 over {14}}; - {5 over {14}}; - {8 over {14}}} ight)).

Khi đó

(d({M_o},d) = M_oH )

(= sqrt {{{left( {2 - {3 over {14}}} ight)}^2} + {{left( {3 + {5 over {14}}} ight)}^2} + {{left( { - 1 + {8 over {14}}} ight)}^2}} )

( = sqrt {{{2870} over {{{14}^2}}}}  = sqrt {{{205} over {14}}} )     

c) (dleft( {{M_o},d} ight) = {{sqrt {9022} } over {26}}.)

d) (dleft( {{M_o},d} ight) = {{sqrt 2 } over 2}.)

Sachbaitap.com