Bài 65 trang 132 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

a)Tìm tập hợp các điểm cách đều ba điểm A(1;1;1), B(-1;2;0), C(2;-3;2).

a) Tìm tập hợp các điểm cách đều ba điểm A(1;1;1), B(-1;2;0), C(2;-3;2).

b) Tìm quỹ tích các điểm M cách đều hai trục tọa độ Ox, Oy và điểm A(1;1;0).

Giải

a) Điểm M(x ; y ; z) cách đều ba điểm A, B, C khi và chỉ khi

      (left{ matrix{  M{A^2} = M{B^2} hfill cr  M{A^2} = M{C^2} hfill cr}  ight.) 

Vậy tập hợp điểm M(x; y; z) là đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng lần lượt có phương trình (1) và (2). Đường thẳng đó có phương trình là:

                              (left{ matrix{  x =  - 8 - 3t hfill cr  y = t hfill cr  z = 15 + 7t hfill cr}  ight.)

Nó chính là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

b) Xét điểm M(x ; y ; z). Khi đó khoảng cách d_x từ M tới trục Ox là

                  ({d_x} = {{left| {left[ {overrightarrow {OM} ,overrightarrow i } ight]} ight|} over {left| {overrightarrow i } ight|}} = sqrt {{y^2} + {z^2}} .)

khoảng cách dy từ M tới trục Oy là

                  ({d_y} = {{left| {left[ {overrightarrow {OM} ,overrightarrow j } ight]} ight|} over {left| {overrightarrow j } ight|}} = sqrt {{x^2} + {z^2}} .)

Mặt khác (MA = sqrt {{{(x - { m{ 1}})}^2} + { m{ }}{{left( {y{ m{ }} - { m{ 1}}} ight)}^2} + { m{ }}{z^2}.} )

Vậy M  là một điểm của quỹ tích khi

(left{ matrix{  {y^2} + {z^2} = {x^2} + {z^2} hfill cr  {y^2} + {z^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2(x + y) + 2 hfill cr}  ight.)

(Leftrightarrow left{ matrix{  {x^2} = {y^2}  (1) hfill cr  {x^2} - 2(x + y) + 2 = 0.   (2) hfill cr}  ight.) 

Từ (1) suy ra x = y hoặc x = -y.

Khi x = y, phương trình (2) có dạng: ({x^2} - 4x + 2 = 0 Rightarrow x = 2 pm sqrt 2 .)

Trong trường hợp này, quỹ tích M là những điểm (x; y; z) mà:

(left{ matrix{  x = 2 + sqrt 2  hfill cr  y = 2 + sqrt 2  hfill cr  z = t hfill cr}  ight.)      (3)      và        (left{ matrix{  x = 2 - sqrt 2  hfill cr  y = 2 - sqrt 2  hfill cr  z = t hfill cr}  ight.)     (4)

Khi (x =  - y), phương trình (2) trở thành: ({x^2} + 2 = 0). Điều này không xảy ra.

Vậy quỹ tích cầm tìm là hai đường thẳng có phương trình (3) và (4)

Sachbaitap.com