Câu 2.105 trang 87 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Cho a >1, b >1.Chứng minh rằng, nếu phương trình

a) Cho a >1, b >1.Chứng minh rằng, nếu phương trình ({a^x} + {b^x} = c) có nghiệm ({x_0}) thì nhiệm đó là duy nhất.

b) Chứng minh kết quả tương tự với trường hợp 0< a < 1 và 0

Giải

a) Khi a >1, b >1 thì các hàm số (y = {a^x}), (y = {b^x}) đồng biến.

Với (x > {x_0}) ta có ({a^x} > {a^{{x_0}}};{b^x} > {b^{{x_0}}}). Vì vậy  ({a^x} + {b^x} > {a^{{x_0}}} + {b^{{x_0}}} = c)

Với (x < {x_0}) ta có ({a^x} < {a^{{x_0}}};{b^x} < {b^{{x_0}}}). Vì vậy ({a^x} + {b^x} < {a^{{x_0}}} + {b^{{x_0}}} = c)

Do đó phương trình ({a^x} + {b^x} = c) có nghiệm ({x_0}) thì nghiệm đó là duy nhất.

 b) Cách giải tương tự như câu a), với lưu ý khi (0 < a < 1,0 < b < 1) thì các hàm số (y = {a^x},y = {b^x})nghịch biến.

Câu a) và b) được minh họa bởi các ví dụ sau:

                                ({4^x} + {6^x} = {13.2^x} Leftrightarrow {2^x} + {3^x} = 13) có nghiệm duy nhất (x = 2)

                                 ({16^x} + {9^x} = {25^x} Leftrightarrow {left( {{{16} over {25}}} ight)^x} + {left( {{9 over {25}}} ight)^x} = 1) có nghiệm duy nhất (x = 1)

Sachbaitap.com