Câu 1.9 trang 8 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Từ tính chất hàm số

Từ tính chất hàm số (y = an x) là hàm số tuần hoàn với chu kì (pi ), hãy chứng minh rằng:

 a) Hàm số (y = A an omega x + B) ((A,B,omega ) là những hằng số, (Aomega  e 0)) là hàm số tuần hoàn với chu kì ({pi  over {left| omega  ight|}})  

b) Hàm số (y = cot x) là hàm số tuần hoàn với chu kì (pi )

Giải

a) Hàm số (y = A an omega x + B) có tập xác định (D = Rackslash left{ {{pi  over {2omega }} + k{pi  over omega }|k in Z} ight}) . Cần tìm T để (forall x in D,x + T) và (x - T) Đều thuộc D và (A an omega left( {x + T} ight) + B = A an omega x + B), tức là ( an (omega x + omega T) = an omega x). Rõ ràng (x in D Leftrightarrow omega x = u in {D_1}) nên ( an (u + omega T) = an u) với mọi (u in D_1) khi và chỉ khi (omega T = kpi ,k in Z) . Từ đó (T = k{pi  over omega }) và số T dương nhỏ nhất cần tìm ({pi  over {left| omega  ight|}}).

b) Với mọi (x in {D_2},cot x =  - an left( {x + {pi  over 2}} ight)), nên (cot (x + T) = cot x,forall x in {D_2}) tương đương với ( an (u + T) = an u,forall u = x + {pi  over 2} in {D_1}) .Từ đó (T = kpi ,k in Z) .Vậy số T dương nhỏ nhất cần tìm là (pi ).

zaidap.com