Câu 1.8 trang 8 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng

Chứng minh rằng số (pi ) là số dương T nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện: Với mọi (x in {D_1}ackslash left{ {{pi  over 2} + kpi |k in Z} ight}) ta có (x + T in {D_1},x - T in {D_1}) và ( an left( {x + pi } ight) = an x) (tức là hàm số (y= an x) là hàm số tuần hoàn với chu kì (pi ))

 Giải

T là số thỏa mãn (forall x in {D_1},x + T in {D_1},x - T in {D_1}) và ( an (x + T) = an x).

Với (x = 0) ta được ( an T = an 0 = 0) , suy ra (T = kpi ,k) là số nguyên . Rõ ràng với mọi số nguyên (k) , số (T = kpi ) thỏa mãn (forall x in {D_1},x + T in {D_1},x - T in {D_1}) và ( an (x + T) = an x). Trong các số (kpi ,k in Z) số dương nhỏ nhất là (pi ) . Vậy hàm số (y= an x) tuần hoàn với chu kì (pi ).

zaidap.com