Bài 27 trang 9 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho khối hộp

Cho khối hộp (ABCD.A'B'C'D')có đáy là hình chữ nhật với (AB = sqrt 3 ), (AD = sqrt 7 ). Hai mặt bên (left( {ABB'A'} ight)) và (left( {ADD'A'} ight)) lần lượt tạo với đáy những góc 45⁰ và 60⁰. Hãy tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1.

Giải

(h.10)

Kẻ (eqalign{  & A'H ot left( {ABCD} ight)left( {H in left( {ABCD} ight)} ight),  cr  & HM ot ADleft( {M in AD} ight),HK ot ABleft( {K in AB} ight). cr} )

Theo định lí ba đường vuông góc, ta có

(AD ot A'M,AB ot A'K)

( Rightarrow widehat {A'MH} = {60^0},;widehat {A'KH} = {45^0}) 

Đặt (A'H = x). Khi đó

(A'H = x;sin {60^0} = {{2 x } oversqrt 3}.)

(eqalign{  & AM = sqrt {A'{A^2} - A'{M^2}}  = sqrt {{{3 - 4{x^2}} over 3}}  = HK.  cr  &  cr} )

Nhưng (HK = xcot {45^0} = x,)

suy ra (x = sqrt {{{3 - 4{x^2}} over 3}}  Rightarrow x = sqrt {{3 over 7}.} )

Vậy ({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = AD.AB.x = sqrt 7 .sqrt 3 .sqrt {{3 over 7}}  = 3.)

Sachbaitap.com