Bài 36 trang 10 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Khối chóp

Khối chóp (S.ABCD)có (SA ot left( {ABC} ight)); đáy là tam giác ABC cân tại A, độ dài trung tuyến AD bằng a, cạnh bên SB tạo với đáy một góc ( alpha  ) và tạo với mặt (left( {SAD} ight)) góc (eta ). Tính thể tích khối chóp.

Giải

(h.20)

 

AB là hình chiếu của SB trên (mpleft( {ABC} ight)) nên (widehat {SBA} = alpha )  Dễ thấy (BD ot left( {SAD} ight)) nên hình chiếu của SB trên (mpleft( {SAD} ight)) là SD ( Rightarrow )  (widehat {BSD} = eta )

Do SAB và SDB là các tam giác vuông nên ta có (SB = {{BD} over {sin eta }},SB = {{AB} over {cos alpha }},) suy ra

(eqalign{   &{{A{B^2}} over {{{cos }^2}alpha }} = {{B{D^2}} over {{{sin }^2}eta }} = {{A{B^2} - B{D^2}} over {{{cos }^2}alpha  - {{sin }^2}eta }} cr&= {{{a^2}} over {{{cos }^2}alpha  - {{sin }^2}eta }}  cr  &  Rightarrow BD = {{asin eta } over {sqrt {{{cos }^2}alpha  - {{sin }^2}eta } }}, cr} )

(eqalign{  & SD = BDcot eta  = {{acos eta } over {sqrt {{ m{co}}{{ m{s}}^2}alpha  - {{sin }^2}eta } }},  cr  & SA = sqrt {S{D^2} - A{D^2}}  = {{asin alpha } over {sqrt {{ m{co}}{{ m{s}}^2}alpha  - {{sin }^2}eta } }}.  cr  &  cr} )

Vậy :

(eqalign{  & {V_{S.ABC}} = {1 over 3}{S_{ABC}}.SA  cr  &  = {1 over 3}.a.{{asin eta } over {sqrt {{ m{co}}{{ m{s}}^2}alpha  - {{sin }^2}eta } }}.{{asin alpha } over {sqrt {{ m{co}}{{ m{s}}^2}alpha  - {{sin }^2}eta } }}  cr  &  = {{{a^3}sin alpha .sin eta } over {3left( {{ m{co}}{{ m{s}}^2}alpha  - {{sin }^2}eta } ight)}}. cr} )

Sachbaitap.com