Bài 34 trang 10 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Khối chóp S.ABC

Khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và (SA ot left( {ABC} ight),SC = a.) Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (left( {SCB} ight))và (left( {ABC} ight)) để thể tích khối chóp là lớn nhất.

Giải

 

Ta có (BC ot AC) nên (BC ot SC) (định lý ba đường vuông góc), suy ra góc (SCA) là góc giữa hai mặt phẳng (left( {SCB} ight)) và (left( {ABC} ight)). Đặt (widehat {SCA} = xleft( {0 < x < {pi  over 2}} ight))

Khi đó :

(eqalign{  & SA = a{mathop{ m s} olimits} { m{inx}},AC = acosx.  cr  & {V_{S.ABC}} = {{a{mathop{ m s} olimits} { m{inx}}} over 3}.{{{a^2}{ m{co}}{{ m{s}}^2}x} over 2} = {{{a^3}} over 6}{mathop{ m s} olimits} { m{in}x}.co{s^2}x. cr} )

Xét hàm số (yleft( x ight) = sin { m{x}}{cos ^2}x.)

Ta có :

(eqalign{  y'left( x ight) &= co{s^3}x - 2{mathop{ m cosx} olimits} .s{ m{i}}{{ m{n}}^2}{ m{x }}cr&= cos xleft( {co{s^2}x - 2 + 2co{s^2}x} ight)  cr  &  = cosxleft( {3{{cos }^2}x - 2} ight) cr&= 3{mathop{ m cosx} olimits} left( {{mathop{ m cosx} olimits}  - sqrt {{2 over 3}} } ight)left( {cos x + sqrt {{2 over 3}} } ight). cr} )

Vì (0 < x < {pi  over 2}) nên (cos xleft( {{mathop{ m cosx} olimits}  + sqrt {{2 over 3}} } ight) > 0.)

Gọi (alpha ) là góc sao cho (cos alpha  = sqrt {{2 over 3}} ,0 < alpha  < {pi  over 2}.)

Ta có bảng biến thiên của hàm (yleft( x ight) = {mathop{ m s} olimits} { m{inx}}.{cos ^2}x:)

 

Vậy V_S.ABC đạt giá trị lớn nhất khi (x = alpha ) với (0 < alpha  < {pi  over 2})và (cos alpha  = sqrt {{2 over 3}} .)

Sachbaitap.com