Bài 9 trang 6 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho tứ diện ABCD

Cho tứ diện ABCD. Chứng tỏ rằng phép dời hình biến mỗi điểm A, B, C, D thành chính nó phải là phép đồng nhất.

Giải

Giả sử phép dời hình f biến mỗi điểm A, B, C, D thành chính nó, tức là (fleft( A ight) = A),(fleft( B ight) = B,fleft( C ight) = C,fleft( D ight) = D.) Ta chứng minh rằng f biến điểm M bất kì thành M.

Thật vậy giả sử ({M'} = fleft( M ight)) và M^’ khác M. Khi đó, vì phép dời hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm nên (AM = A{M'}),(BM = B{M'}),(CM = C{M'},DM = D{M'},) suy ra bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MM^’, điều đó trái với giả thiết ABCD là hình tứ diện.

Vậy M^’ trùng với M và do đó, f là phép đồng nhất.

Sachbaitap.com