Bài 22 trang 8 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho khối hộp H có tâm I

Cho khối hộp H có tâm I. Chứng minh rằng nếu (mpleft( alpha  ight))chia H thành hai phần có thể tích bằng nhau thì (left( alpha  ight)) phải đi qua điểm I.

Giải

Giả sử H là khối hộp có tâm I và (left( alpha  ight))là mặt phẳng không đi qua I. Ta phải chứng minh rằng (left( alpha  ight)) chia H thành hai khối đa diện H₁ và H₂ có thể tích không bằng nhau.

Ta gọi (left( {alpha '} ight)) là mặt phẳng đi qua I và song song với (left( alpha  ight)). Khi đó, (left( alpha  ight)) chia H thành hai khối đa diện H’₁ và H’₂. Vì I là tâm của H nên phép đối xứng tâm I biến H’₁ thành H’₂.

Vậy hai khối đa diện có thể tích bằng nhau và bằng ({V over 2}). Trong đó V là thể tích của H. Cố nhiên phần của H nằm giữa hai mặt phẳng song song (left( alpha  ight)) và (left( {alpha '} ight)) có thể tích khác 0 nên thể tích của H₁ và H₂ không thể bằng nhau.

Sachbaitap.com