Bài 32 trang 10 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho khối chóp tứ giác đều

Cho khối chóp tứ giác đều (S.ABCD) mà trung đoạn của nó ( đường cao của một mặt bên hạ từ đỉnh hình chóp) bằng 6 còn góc giữa hai mặt bên dối diện bằng ({60^0}). Qua CD, dựng mặt phẳng (left( alpha  ight)) vuông góc với (mpleft( {SAB} ight)), cắt SA, SB lần lượt tại P₁ và P.

Hãy tính thể tích khối chóp S.CDP₁P.

Giải

(h.16)

Giả sử SK và SE là hai trung đoạn của khối chóp.

Vì (CD//AB) nên giao tuyến (Delta ) của hai mặt phẳng (left( {SCD} ight)) và (left( {SAB} ight)) song song với CD và AB.

Ta có (SE ot CD;SK ot AB Rightarrow SE ot Delta ,SK ot Delta  Rightarrow ) (widehat {KSE}) là góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAB). Vậy  (widehat {KSE}) = 60⁰.

Do (CD//AB) nên giao tuyến P₁P của (left(alpha  ight)) và (left( {SAB} ight))song song với (CD) và (AB). Tứ đó dễ thấy tứ giác CDP₁P là hình thang cân và EH là đường cao của nó (left( {H = SK cap {P_1}P} ight)).

Ta có (EH ot {P_1}P,) mà ({P_1}P = left( alpha  ight) cap left( {SAB} ight),left( alpha  ight) ot left( {SAB} ight)) nên suy ra (EH ot left( {SAB} ight) Rightarrow EH ot SH.) Mặt khác (SH ot {P_1}P Rightarrow SH ot left( {CD{P_1}P} ight)) nên SH là đường cao của hình chóp S.CDP₁P. Tam giác SKE cân đỉnh S và có góc ở đỉnh bằng 60⁰ nên nó là tam giác đều. Vậy H là trung điểm của SK, suy ra

({P_1}P = {1 over 2}AB = {1 over 2}KE = {1 over 2}SE = {1 over 2}.6 = 3.)

Ta có :

(eqalign{
{V_{S.CD{P_1}P}} &= {1 over 3}{S_{CD{P_1}P}}.SH cr&= {1 over 3} cdot {1 over 2}left( {CD + {P_1}P} ight).EH.SH cr
& ={1 over 6}left( {6 + 3} ight) cdot {{6sqrt 3 } over 2} cdot 3 = {{27} over 2}sqrt 3 cr} )

Sachbaitap.com