Bài 86 trang 137 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
Trong không gian tọa độ Oxyz cho A(1; 2; -1), B(-1; 1; 1), C( 1; 0; 1). ...
Trong không gian tọa độ Oxyz cho A(1; 2; -1), B(-1; 1; 1), C( 1; 0; 1).
Trong không gian tọa độ Oxyz cho A(1; 2; -1), B(-1; 1; 1), C( 1; 0; 1).
a) Chứng minh OABC là 1 tứ diện vuông đỉnh O.
b) Chứng minh rằng ngoài điểm O còn có một điểm S duy nhất sao cho SABC là tứ diện vuông đỉnh S. Tìm tọa độ của S.
c) Mặt phẳng (Oxy) chia tam giác ABC thành 2 phần, tính tỉ số diện tích 2 phần đó.
d) Tính góc giữa mp(ABC) và mp(Oxy).
Giải
a) Ta có (overrightarrow {OA} =(1 ; 2 ;-1)), (overrightarrow {OB} =(-1 ; 1 ; 1)), (overrightarrow {OC} = (1 ; 0 ; 1))
(eqalign{ & Rightarrow overrightarrow {OA} .overrightarrow {OB} = 0,overrightarrow {OB} .overrightarrow {OC} = 0,overrightarrow {OC} .overrightarrow {OA} = 0 cr & Rightarrow OA ot OB,OB ot OC,OC ot OA. cr} )
b) Giả sử S((x{ m{ }};y;{ m{ }}z)) là điểm thoả mãn điều kiện đầu bài. Ta có :
(eqalign{ & overrightarrow {SA} = left( {1 - x;2 - y; - 1 - z} ight), cr & overrightarrow {SB} = left( { - 1 - x;1 - y;1 - z} ight), cr & overrightarrow {SC} = left( {1 - x; - y;1 - z} ight). cr} )
Ta có: (left{ matrix{ overrightarrow {SA} .overrightarrow {SB} = 0 hfill cr overrightarrow {SB} .overrightarrow {SC} = 0 hfill cr overrightarrow {SC} .overrightarrow {SA} = 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{ {x^2} + {y^2} + {z^2} - 3y = 0 hfill cr {x^2} + {y^2} + {z^2} - y - 2z = 0 hfill cr {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y = 0 hfill cr} ight.)
(left{ matrix{ y = z hfill cr {x^2} + {y^2} + {z^2} - 3y = 0 hfill cr y = 2x hfill cr} ight. Rightarrow left[ matrix{ x = 0 hfill cr x = {2 over 3}. hfill cr} ight.)
Khi (x = { m{ }}0) thì (y{ m{ }} = z{ m{ }} = { m{ }}0), điểm S trùng với điểm O.
Khi (x = { m{ }}{2 over 3}) thì (y{ m{ }} = z{ m{ }} = { m{ }}{4 over 3}), (S = left( {{2 over 3};{4 over 3};{4 over 3}} ight)) là điểm duy nhất khác O sao cho tứ diện SABC là tứ diện vuông.
c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn AB, AC, tacó (M = left( {0;{3 over 2};0} ight)), (N = (1;{ m{ }}1{ m{ }};{ m{ }}0)), suy ra M, N đều thuộc mp(Oxy). Như vậy mp(Oxy) cắt tam giác ABC theo đường trung bình MN, do đó chia tam giác ABC thành hai phần : tam giác AMN và hình thang MNCB. Rõ ràng là tỉ số diện tích hai phần đó là 1 : 3.
d) Ta có (overrightarrow {AB} ) = (-2 ; -1 ; 2), (overrightarrow {AC} ) = (0 ; -2 ; 2).
Vì (left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} } ight]) = (2;4;4) nên mp (ABC) có vectơ pháp tuyến là (overrightarrow n left( {1;2;2} ight).)
mp(Oxy) có vectơ pháp tuyến là (overrightarrow k = { m{ }}left( {0{ m{ }};{ m{ }}0{ m{ }};{ m{ }}1} ight).)
Gọi ((varphi )) là góc hợp bởi mp(ABC) và mp(Oxy) thì :
(cos varphi = {{left| {overrightarrow n .overrightarrow k } ight|} over {left| {overrightarrow n } ight|.left| {overrightarrow k } ight|}} = {2 over {sqrt {1 + 4 + 4} }} = {2 over 3}.)
Sachbaitap.com
