Bài 80 trang 136 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
a)Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng ...
a)Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng
a) Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng
(left( alpha ight):x + y + z + 1 = 0) và (left( {alpha '} ight):x - y + z - 1 = 0;)
Và cho hai mặt phẳng (eqalign{ & left( {{P_1}} ight):x + 2y + 2z + 3 = 0 cr & left( {{P_2}} ight):x + 2y + 2z + 7 = 0 cr} )
Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc d và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P1) và (P2).
b) Cho đường thẳng (d:{x over 2} = {{y - 1} over 1} = {{z + 1} over 2}) và hai mặt phẳng
(eqalign{
& left( {{P_1}}
ight):x + y - 2z + 5 = 0 cr
& left( {{P_2}}
ight):2x - y + z + 2 = 0 cr} )
Giải
a) Ta nhận thấy mp(({P_1})) song song với mp(({P_2})).
Gọi A là giao điểm của đường thẳng d với mp(({P_1})). Tọa độ (x; y; z) của A là nghiệm của hệ: (left{ matrix{ x + y + z + 1 = 0 hfill cr x - y + z - 1 = 0 hfill cr x + 2y + 2z + 3 = 0 hfill cr} ight.)
Suy ra (A = left( {1; - 1; - 1} ight).)
Gọi B là giao điểm của đường thẳng d với mp(({P_2})). Toa độ (x; y; z) của B là nghiệm của hệ: (left{ matrix{ x + y + z + 1 = 0 hfill cr x - y + z - 1 = 0 hfill cr x + 2y + 2z + 7 = 0 hfill cr} ight.)
Suy ra (B = left( {5; - 1; - 5} ight).)
Tâm I của mặt cầu phải tìm là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Do đó (I = left( {3; - 1; - 3} ight)). Bán kính của mặt cầu phải tìm là
(R = dleft( {I,left( {{P_1}} ight)} ight) = {{left| {3 - 2 - 6 + 3} ight|} over {sqrt 9 }} = {2 over 3}.)
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:
({left( {x - 3} ight)^2} + {left( {y + 1} ight)^2} + {left( {z + 3} ight)^2} = {4 over 9}.)
b) Gọi (I = left( {a;b;c} ight)) là tâm mặt cầu cần tìm, do (I in d) nên
({a over 2} = {{b - 1} over 1} = {{c + 1} over 2} Leftrightarrow left{ matrix{ a - 2b + 2 = 0 hfill cr a - c - 1 = 0. hfill cr} ight.)
Vì mặt cầu (S) tiếp xúc với cả mp(({P_1})) và mp(({P_2})) nên:
(dleft( {I,left( {{P_1}} ight)} ight) = dleft( {I,left( {{P_2}} ight)} ight) = R)
( Leftrightarrow {{left| {a + b - 2c + 5} ight|} over {sqrt 6 }} = {{left| {2a - b + c + 2} ight|} over {sqrt 6 }} Leftrightarrow left[ matrix{ a - 2b + 3c = 3 hfill cr 3a - c = - 7. hfill cr} ight.)
Kết hợp với điều kiện trên ta có:
Vậy có 2 mặt cầu có tâm nằm trên (d) và tiếp xúc với (left( {{P_1}} ight),left( {{P_2}} ight)) , chúng có phương trình là
(eqalign{ & {left( {x - {8 over 3}} ight)^2} + {left( {y - {7 over 3}} ight)^2} + {left( {z- {5 over 3}} ight)^2} = {{200} over {27}}; cr & {left( {x + 4} ight)^2} + {left( {y + 1} ight)^2} + {left( {z + 5} ight)^2} = {{50} over 3}. cr} )
Sachbaitap.com
