Bài 82 trang 136 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng

Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng

(left( alpha  ight):Ax + By + Cz + D = 0,ABC e 0)

và điểm M₀(x₀,y₀,z₀) không thuộc (left( alpha  ight)). Các đường thẳng qua M₀ lần lượt song song với các trục tọa độ cắt (left( alpha  ight)) tại ({M_1},{M_2},{M_3}.) Tính thể tích khối tứ diện ({M_0}{M_1}{M_2}{M_3}.)

Giải

Gọi d₁ là đường thẳng qua M₀ (x₀ ; y₀ ; z₀) và song song với trục Ox thì d₁ có vectơ chỉ phương là (1 ; 0 ; 0). Ta có phương trình của d₁ là

({d_1}:left{ matrix{  x = {x_o} + t hfill cr  y = y_o hfill cr  z = {z_o}. hfill cr}  ight.)

Gọi M₁ là giao điểm của d₁ với mp((alpha )). Toạ độ (x; y; z) của M₁ thoả mãn hệ

(left{ matrix{  x = {x_o} + t hfill cr  y = y_o hfill cr  z = {z_o} hfill cr  Ax + By + Cz + D = 0 hfill cr}  ight.)

    (eqalign{  &  Rightarrow {M_1} = left( {{x_o} - {{A{x_o} + B{y_o} + C{z_o} + D} over A};{y_o};{z_o}} ight)  cr  &  Rightarrow {M_O}{M_1} = left| {{{A{x_o} + B{y_o} + C{z_o} + D} over A}} ight|. cr} )

Tương tự, gọi d₂ là đường thẳng đi qua M₀ và song song với Oỵ, d₂ cắt ((alpha )) tại M₂ thì

({M_O}{M_2} = left| {{{A{x_o} + B{y_o} + C{z_o} + D} over B}} ight|.)

Gọi d₃ là đường thẳng đi qua M₀ và song song với Oz, d₃ cắt ((alpha )) tại M₃ thì

({M_O}{M_3} = left| {{{A{x_o} + B{y_o} + C{z_o} + D} over C}} ight|.)

Dễ thấy M_oM₁, M_oM₂, M_oM₃ đôi một vuông góc, do đó

({V_{{M_o}{M_1}{M_2}{M_3}}} = {1 over 6}{M_o}{M_1}.{M_o}{M_2}.{M_o}{M_3} )

                     (= {{{{left| {A{x_o} + B{y_o} + C{z_o} + D} ight|}^3}} over {6.left| {A.B.C} ight|}}.)

Sachbaitap.com